$\text{a)}4x^3+4x^2-15x-18<0$

  $4x^3-\underset{=4x^2}{\underbrace{8x^2+12x^2}}-\underset{=15x}{\underbrace{24x+9x}}-18<0$  

$4x^2\left(x-2\right)+12x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)<0$

$\left(x-2\right)\left(4x^2+12x+9\right)<0$

$\left(x-2\right)\left({\left(2x\right)}^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2\right)<0$

$\left(x-2\right){\left(2x+3\right)}^2<0$

Zauważmy, że pierwiastkami równania 

$\left(x-2\right){\left(2x+3\right)}^2=0$

są liczby 

$x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$

szkicujemy wykres funkcji 

$y=\left(x-2\right){\left(2x+3\right)}^2$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i otrzymujemy 

     

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\infty ,2\right)\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$  

---

$\text{b)}{x}^3+x+2\le 0$

$x^3+\underset{=0}{\underbrace{x^2-x^2}}+\underset{=x}{\underbrace{-x+2x}}+2\le 0$  

$x^2\left(x+1\right)-x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\le 0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+2\right)\le 0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+2\right)=0$

$x=-1\text{lub}{x}^2-x+2=0$

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$x^2-x+2=0$

$\Delta =1-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0$

czyli to równanie nie ma rozwiązania. 

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=\left(x+1\right)\left(x^2-x+2\right)$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

      

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in (-\infty ,-1⟩$  

---

$\text{c)}{x}^3+3x^2-16x+12>0$

$x^3-\underset{3x^2}{\underbrace{x^2+4x^2}}+\underset{=-16x}{\underbrace{-4x-12x}}+12>0$  

$x^2\left(x-1\right)+4x\left(x-1\right)-12\left(x-1\right)>0$

$\left(x-1\right)\left(x^2+4x-12\right)>0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$\left(x-1\right)\left(x^2+4x-12\right)=0$

$x=1\text{lub}{x}^2+4x-12=0$

rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$x^2+4x-12=0$

$\Delta =16-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=16+48=64$

$\sqrt{\Delta }=8$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$x_1=\frac{-4-8}{2}=-6$

$x_2=\frac{-4+8}{2}=2$    

czyli

$x^2+4x-12=\left(x+6\right)\left(x-2\right)$

zatem wyjściowa nierówność jest postaci

$\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x-2\right)>0$  

Szkicujemy wykres funkcji 

$y=\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x-2\right)$

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

       

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-6,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$

---

$\text{d)}{x}^4-9x^2+20<0$

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^4-9x^2+20=0$

użyjemy podstawienia 

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy 

$t^2-9t+20=0$

$\Delta =81-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$t_1=\frac{9-1}{2}=4$

$t_2=\frac{9+1}{2}=5$

wracając do podstawienia dostajemy:

dla t = 4 

$x^2=4$

$x=-2\text{lub}x=2$

dla t = 5 

$x^2=5$

$x=-\sqrt{5}\text{lub}x=\sqrt{5}$

czyli podaną nierówność możemy zapisać w postaci 

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)<0$

szkicujemy wykres funkcji           

$y=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$   

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

       

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\sqrt{5},-2\right)\cup \left(2,\sqrt{5}\right)$  

---

$\text{e)}{x}^7+x^5-30x^3>0$

$x^3\left(x^4+x^2-30\right)>0$  

znajdziemy pierwiastki równania 

$x^3\left(x^4+x^2-30\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^4+x^2-30=0$

rozwiązując drugie równanie użyjemy podstawienia 

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy 

$t^2+t-30=0$

$\Delta =1-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)=1+120=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$t_1=\frac{-1-11}{2}=-6<0\text{sprz.}$

$t_2=\frac{-1+11}{2}=5$

wracając do podstawienia dostajemy

$t=5$  

$x^2=5$

$x=-\sqrt{5}\text{lub}x=\sqrt{5}$

czyli 

$x^4+x^2-30=\left(x^2+6\right)\left(x^2-5\right)=\left(x^2+6\right)\left(x+\sqrt{5}\right)\left(x-\sqrt{5}\right)$    

czyli podaną nierówność możemy zapisać w postaci 

$x^3\left(x^2+6\right)\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)>0$  

szkicujemy wykres funkcji           

$y=x^3\left(x^2+6\right)\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$   

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

       

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in \left(-\sqrt{5},0\right)\cup \left(\sqrt{5},+\infty \right)$  

---

$\text{f)}-x^8+2x^6+3x^4\ge 0$

$-x^4\left(x^4-2x^2-3\right)\ge 0$  

znajdziemy pierwiastki równania 

$-x^4\left(x^4-2x^2-3\right)=0$

$x=0\text{lub}{x}^4-2x^2-3=0$

rozwiązując drugie równanie użyjemy podstawienia 

$t=x^2,t\ge 0$

otrzymamy 

$t^2-2t-3=0$

$\Delta =4-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=4$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$t_1=\frac{2-4}{2}=-1<0\text{sprz.}$

$t_2=\frac{2+4}{2}=3$

wracając do podstawienia dostajemy

$t=3$  

$x^2=3$

$x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$

czyli 

$x^4-2x^2-3=\left(x^2+1\right)\left(x^2-3\right)=\left(x^2+1\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)$    

czyli podaną nierówność możemy zapisać w postaci 

$-x^4\left(x^2+1\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\ge 0$  

szkicujemy wykres funkcji           

$y=-x^4\left(x^2+1\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)$   

z zaznaczonymi miejscami zerowymi i dostajemy 

       

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest 

$x\in ⟨-\sqrt{3},\sqrt{3}⟩$