$\text{a)}f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2\text{,}\text{dla}x<3\\ 2x+a\text{,}\text{dla}x\ge 3\end{array}$  

1) Rozważmy fragment funkcji liniowej 

$y=x^2,x<3$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji

$x^2=0$

$x=0$   

więc podany fragment funkcji ma jedno miejsce zerowe

$x=0$  

2) Rozważmy fragment funkcji liniowej 

$y=2x+a,x\ge 3$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji w zależności od parametru a

$2x+a=0$

$2x=-a$

$x=-\frac{a}{2}$  

Zauważmy, że funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy ten fragment funkcji ma jedno miejsce zerowe, czyli

$-\frac{a}{2}\ge 3$

$a\le -6$

Zatem dla a ≤ -6 funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe.  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}3x-12\text{,}\text{dla}x\le 4\\ x^2+a\text{,}\text{dla}x>4\end{array}$  

1) Rozważmy fragment funkcji liniowej 

$y=3x-12,x\le 4$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji

$3x-12=0$

$3x=12$

$x=4$    

więc podany fragment funkcji ma jedno miejsce zerowe

$x=4$  

2) Rozważmy fragment funkcji liniowej 

$y=x^2+a,x>4$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji w zależności od parametru a

$x^2+a=0$

$x^2=-a$

Zauważmy, że funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy ten fragment funkcji ma jedno miejsce zerowe, czyli gdy

$\{\begin{array}{l}-a\ge 0\\ \sqrt{-a}>4\\ -\sqrt{-a}\le 4\end{array}$  

Z pierwszej nierówności dostajemy

$a\le 0$

Podnosząc stronami do kwadratu drugą nierówność otrzymujemy

$-a>16$

$a<-16$

Podnosząc stronami do kwadratu trzecią nierówność otrzymujemy

$-a\le 16$       

zatem powyższy układ trzech warunków jest spełniony dla 

$a<-16$  

czyli dla a < -16  funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe.