$\text{a)}m{x}^3+5x^2+1=0$

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych na mocy którego, jeśli powyższe równanie ma rozwiązanie całkowite, to jest ono dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli mogą być nim liczby 

$1,-1$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 1 to dostajemy, że

$m+5+1=0\Rightarrow m=-6$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -1 to dostajemy, że

$-m+5+1=0\Rightarrow m=6$

zatem dla liczb całkowitych

$m=6\text{lub}m=-6$

równanie ma przynajmniej jeden pierwiastek całkowity. 

---

$\text{b)}{x}^3+m{x}^2-2=0$

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych na mocy którego, jeśli powyższe równanie ma rozwiązanie całkowite, to jest ono dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli mogą być nim liczby

$1,-1,2,-2$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 1 to dostajemy, że

$1+m-2=0\Rightarrow m=1$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -1 to dostajemy, że

$-1+m-2=0\Rightarrow m=3$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 2 to dostajemy, że

$2^3+m\cdot 2^2-2=0$

$8+4m-2=0$

$m=-\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$   

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -2 to dostajemy, że

${\left(-2\right)}^3+m\cdot {\left(-2\right)}^2-2=0$

$-8+4m-2=0$

$m=\frac{5}{2}\notin \mathbb{Z}$   

zatem dla liczb całkowitych

$m=1\text{lub}m=3$  

równanie ma przynajmniej jeden pierwiastek całkowity. 

---

$\text{c)}{x}^2+m=0$

$x^2=-m$

powyższa równość ma sens dla 

$m\in (-\infty ,0⟩$

wówczas rozwiązaniem równania są liczby 

$x_1=-\sqrt{-m},x_2=\sqrt{-m}$

otrzymane rozwiązania będą liczbami całkowitymi, gdy liczba m będzie liczbą przeciwną do kwadratu dowolnej liczby naturalnej, czyli gdy będzie postaci

$m=-k^2,k\in \mathbb{N}$  

---

$\text{d)}{x}^3+mx+4=0$

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych na mocy którego, jeśli powyższe równanie ma rozwiązanie całkowite, to jest ono dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli mogą być nim liczby 

$1,-1,2,-2,4,-4$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 1 to dostajemy, że

$1+m+4=0\Rightarrow m=-5$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -1 to dostajemy, że

$-1-m+4=0\Rightarrow m=3$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 2 to dostajemy, że

$2^3+m\cdot 2+4=0$

$8+2m+4=0$

$m=-6$   

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -2 to dostajemy, że

${\left(-2\right)}^3+m\cdot \left(-2\right)+4=0$

$-8-2m+4=0$

$m=-2$

jeśli rozwiązaniem równania jest x = 4 to dostajemy, że

$4^3+m\cdot 4+4=0$

$64+4m+4=0$

$m=-17$   

jeśli rozwiązaniem równania jest x = -4 to dostajemy, że

${\left(-4\right)}^3+m\cdot \left(-4\right)+4=0$

$-64-4m+4=0$

$m=-15$   

zatem dla liczb całkowitych

$m\in \left\{-17,-15,-6,-5,-2,3\right\}$

równanie ma przynajmniej jeden pierwiastek całkowity.