$\text{a)}{x}^2\left(x+5\right)-2\left(x+5\right)\left(2x-1\right)=0$

$\left(x+5\right)\left(x^2-2\left(2x-1\right)\right)=0$  

$\left(x+5\right)\left(x^2-4x+2\right)=0$

więc

$x+5=0\text{lub}{x}^2-4x+2=0$

Ad.1)

$x+5=0$   

$x=-5$

Ad.2)

$x^2-4x+2=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}=2-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}=2+\sqrt{2}$

Z 1) i 2) dostajemy, że równanie ma 3 rozwiązania

$x_1=-5,x_2=2-\sqrt{2},x_3=2+\sqrt{2}$          

---

$\text{b)}\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2-2\right)=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-1\right)$

$\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2-2\right)-3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-1\right)=0$

$\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2-2-3\left(x-1\right)\right)=0$  

$\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2-2-3x+3\right)=0$

$\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(3x^2-3x+1\right)=0$  

więc

$x-\frac{2}{3}=0\text{lub}3x^2-3x+1=0$

Ad.1)

$x-\frac{2}{3}=0$

$x=\frac{2}{3}$

Ad.2)

$3x^2-3x+1=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=9-12=-3<0$  

czyli to równanie nie ma rozwiązania. 

Z 1) i 2) dostajemy, że jedynym rozwiązaniem równania jest liczba

$x=\frac{2}{3}$

---

$\text{c)}2x^2\left(x+4\right)=\left(x+4\right)\left(3x-1\right)$

$2x^2\left(x+4\right)-\left(x+4\right)\left(3x-1\right)=0$

$\left(x+4\right)\left(2x^2-\left(3x-1\right)\right)=0$

$\left(x+4\right)\left(2x^2-3x+1\right)=0$

więc

$x+4=0\text{lub}2x^2-3x+1$

Ad.1)

$x+4=0$

$x=-4$

Ad.2)

$2x^2-3x+1=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

więc równanie ma dwa rozwiązania 

$x_1=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{3+1}{4}=\frac{4}{4}=1$

Z 1) i 2) dostajemy, że równanie ma 3 rozwiązania

$x_1=-4,x_2=\frac{1}{2},x_3=1$

---

$\text{d)}{x}^4\left(x-2\right)+\left(2x-4\right)\left(x^2+1\right)=0$

$x^4\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x^4+2\left(x^2+1\right)\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(x^4+2x^2+2\right)=0$

więc

$x-2=0\text{lub}{x}^4+2x^2+2=0$   

Ad.1)

$x-2=0$  

$x=2$

Ad.2)

$x^4+2x^2+2=0$

użyjemy podstawienia 

$t=x^2,t\ge 0$

wtedy równanie jest postaci

$t^2+2t+2=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$

czyli to równanie nie ma rozwiązania. 

Z 1) i 2) dostajemy, że jedynym rozwiązaniem równania jest liczba

$x=2$   

---

$\text{e)}{x}^5+2x^4+16x+32=8x^2\left(x+2\right)$

$x^4\left(x+2\right)+16\left(x+2\right)=8x^2\left(x+2\right)$

$x^4\left(x+2\right)+16\left(x+2\right)-8x^2\left(x+2\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(x^4+16-8x^2\right)=0$

$\left(x+2\right)\left({\left(x^2\right)}^2-2\cdot x^2\cdot 4+4^2\right)=0$

$\left(x+2\right){\left(x^2-4\right)}^2=0$

więc

$x+2=0\text{lub}{x}^2-4=0$

$x=-2x^2=4$

$x=-2x=-2\text{lub}x=2$

równanie ma więc 2 rozwiązania

$x_1=-2,x_2=2$

---

$\text{f)}{x}^4\left(3x-1\right)=6x^3-2x^2+45x-15$

$x^4\left(3x-1\right)=2x^2\left(3x-1\right)+15\left(3x-1\right)$  

$x^4\left(3x-1\right)-2x^2\left(3x-1\right)-15\left(3x-1\right)=0$

$\left(3x-1\right)\left(x^4-2x^2-15\right)=0$

$\left(3x-1\right)\left(x^4\underset{=-2x^2}{\underbrace{-5x^2+3x^2}}-15\right)=0$

$\left(3x-1\right)\left(x^2\left(x^2-5\right)+3\left(x^2-5\right)\right)=0$

$\left(3x-1\right)\left(x^2-5\right)\left(x^2+3\right)=0$           

więc

$3x-1=0\text{lub}{x}^2-5=0\text{lub}{x}^2+3=0$   

$x=\frac{1}{3}{x}^2=5x^2=-3\left(\text{sprz.}\right)$

$x=\frac{1}{3}x=-\sqrt{5}\text{lub}x=\sqrt{5}$                  

równanie ma więc 3 rozwiązania

$x_1=-\sqrt{5},x_2=\frac{1}{3},x_3=\sqrt{5}$