Przypomnijmy, że graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. 

Wprowadźmy oznaczenia:

a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa;

H - długość wysokości graniastosłupa.

Ścianami bocznymi graniastosłupa są trzy przystające prostokąty o wymiarach a x H. 

Wiadomo, że pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej, czyli

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=aH\mid :a$

$\frac{a\sqrt{3}}{4}=H$

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 45√3, skąd dostajemy 

$P_c=2P_p+P_b$

$45\sqrt{3}=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot aH$  

$45\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}\mid :\sqrt{3}$

$45=\frac{a^2}{2}+\frac{3a^2}{4}$

$45=\frac{5a^2}{4}\mid :\frac{5}{4}$

$36=a^2\text{i}a>0$

czyli 

$a=6$

więc

$H=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy objętość tego graniastosłupa 

$V=P_p\cdot H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{36\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{324}{8}=40\frac{4}{8}=40\frac{1}{2}$