Przypomnijmy, że:

$\alpha$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy: 

a)

$\sin \alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$

zatem

$\alpha ={30}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$\beta ={60}^{\circ }$

---

b)

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

zatem

$\alpha ={30}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$\beta ={60}^{\circ }$

---

c)

$\cos \alpha =\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

zatem

$\alpha ={45}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$\beta ={45}^{\circ }$

---

d)

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AC\right|}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3\cdot 2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$

zatem

$\alpha ={60}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

 

$\beta ={30}^{\circ }$

---

e)

$\sin \alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1,5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1,5}{3}=\frac{1}{2}$

zatem

$\alpha ={30}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$\beta ={60}^{\circ }$  

---

f)

$\sin \alpha =\frac{\left|BC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

zatem

$\alpha ={60}^{\circ }$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º mamy

$\beta ={30}^{\circ }$