Przypomnijmy, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe, czyli rozważany trapez jest równoramienny. 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

Z treści zadania wiadomo, że stosunek obwodu trapezu do sumy podstaw jest równy ³/₂, więc możemy zapisać

$\frac{2a+2b+2c}{2a+2b}=\frac{3}{2}$

$\frac{2a+2b}{2a+2b}+\frac{2c}{2a+2b}=\frac{3}{2}$

$1+\frac{2c}{2\left(a+b\right)}=\frac{3}{2}$

$\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}{\mid }^{-1}$  

$\frac{a+b}{c}=2$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=2$    

$\frac{b}{c}=2-\frac{a}{c}\left(\text{*}\right)$  

---

Zauważmy, że wysokości DE i CF w trapezie opuszczone na podstawę AB dzielą go na dwa przystające trójkąty prostokątne i prostokąt.

Zauważmy również, że kąt wpisany ACB jest oparty na średnicy AB, więc

$\left|\sphericalangle ACB\right|={90}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\cos \alpha =\frac{c}{2a+b}{\mid }^{-1}$   

$\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{2a+b}{c}$  

$\frac{1}{\cos \alpha }=2\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$  

Korzystając z (*) mamy

$\frac{1}{\cos \alpha }=2\frac{a}{c}+2-\frac{a}{c}$   

$\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{a}{c}+2\left(\text{**}\right)$  

---

Rozważmy trójkąt prostokątny BFC. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy 

$\cos \alpha =\frac{a}{c}$  

wstawiając otrzymaną zależność do (**) dostajemy 

$\frac{1}{\cos \alpha }=\cos \alpha +2\mid \cdot \cos \alpha$

$1={\cos }^2\alpha +2\cos \alpha$

$-{\cos }^2\alpha -2\cos \alpha +1=0$

użyjemy podstawienia:

$t=\cos \alpha ,t\in \left(0,1\right)$

wówczas rozważane równanie jest postaci

$-t^2-2t+1=0$

$\Delta =4-4\cdot \left(-1\right)\cdot 1=8$

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}$

skąd dostajemy

$t_1=\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}=\sqrt{2}-1$

$t_2=\frac{2+2\sqrt{2}}{-2}<0\text{sprz.}$

więc wracając do podstawienia mamy

$\cos \alpha =\sqrt{2}-1$