Zauważmy, że zacieniowany obszar składa się z dwóch wycinków koła mniejszego i większego.

Wprowadźmy oznaczenia:

R- promień większego wycinka koła;

r - promień mniejszego wycinka koła.  

---

Większy z wycinków jest wyznaczony przez kąt 90° i promień R równy długości boku kwadratu, czyli 

$R=1$   

Policzmy pole tego wycinka:

$P_1=\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 1=\frac{1}{4}\pi$  

---

Zauważmy, że suma długości promieni obu wycinków jest równa długości przekątnej kwadratu, czyli 

$R+r=\sqrt{2}$

$1+r=\sqrt{2}$

$r=\sqrt{2}-1$

---

Mniejszy z wycinków jest wyznaczony przez kąt 90° i promień r równy

$r=\sqrt{2}-1$

Obliczmy pole mniejszego wycinka:

$P_2=\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot \left(2-2\sqrt{2}+1\right)=\frac{1}{4}\pi \left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{\left(3-2\sqrt{2}\right)}{4}\pi$  

---

Obliczmy pole zacieniowanego obszaru 

$P=P_1+P_2=\frac{1}{4}\pi +\frac{3-2\sqrt{2}}{4}\pi =\frac{1}{4}\pi \left(1+3-2\sqrt{2}\right)=\frac{1}{4}\pi \left(4-2\sqrt{2}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\pi =\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\pi$