Skorzystamy z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą:

Kąt ostry między cięciwą okręgu a styczną w punkcie, który jest końcem cięciwy, jest równy kątowi ostremu wpisanemu w okrąg opartemu na tej cięciwie.

---

 Niech będzie dany n-kąt foremny wpisany w okrąg ośrodku S i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A₁ (rysunek poniżej)

 

Zauważmy, że skoro n-kąt foremny ma boki równej długości, to wierzchołki n-kąta dzielą okrąg o środku S na n łuków równej długości. 

Zatem każdy z kątów środkowych opartych na łuku równym długości boku n-kąta ma miarę:  $\frac{{360}^{\circ }}{n}$  

W szczególności

$\left|\sphericalangle A_{1}S{A}_2\right|=\frac{{360}^{\circ }}{n}$

Każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku (równym długości boku n-kąta) ma miarę dwa razy mniejszą, od miary kąta środkowego, więc w szczególności

$\left|\sphericalangle A_1{A}_5{A}_2\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{{360}^{\circ }}{n}=\frac{{180}^{\circ }}{n}$  

Zauważmy, że każdy z boków n-kąta jest jednocześnie cięciwą okręgu o środku S. 

W szczególności kąt ostry 𝛼  jest zawarty między styczną w do okręgu (w punkcie A₁) i cięciwą A₁A₂. 

Korzystając z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą dostajemy, że kąt ostry 𝛼 i kąt wpisany oparty na łuku A₁A₂ są równe, czyli

$\alpha =\frac{{180}^{\circ }}{n}$