a)

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AD\right|=x$

$\left|DB\right|=10-x$

Założenia:

$x>0,10-x>0,x<10-x$

$x>0,10>x,2x<10$

$x>0,10>x,x<5$

$x\in \left(0,5\right)$

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ADC mamy:

$x^2+4^2=a^2$

$x^2+16=a^2$

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBC mamy:

${\left(10-x\right)}^2+4^2=b^2$

$100-20x+x^2+16=b^2$

$116-20x+x^2=b^2$

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy:

$a^2+b^2=10^2$

$x^2+16+116-20x+x^2=100$

$2x^2-20x+32=0|:2$

$x^2-10x+16=0$

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 16=100-64=36$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$ 

$x_1=\frac{-\left(-10\right)-6}{2}=\frac{10-6}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-\left(-10\right)+6}{2}=\frac{10+6}{2}=\frac{16}{2}=8\text{sprzecznosˊcˊ}$

Zatem mamy:

$x^2+16=a^2$

$2^2+16=a^2$

$4+16=a^2$

$20=a^2$

$a=\sqrt{20}$

$a=\sqrt{4\cdot 5}$

$a=2\sqrt{5}$

oraz

${\left(10-x\right)}^2+4^2=b^2$

${\left(10-2\right)}^2+16=b^2$

$8^2+16=b^2$

$64+16=b^2$

$80=b^2$

$b=\sqrt{80}$

$b=\sqrt{16\cdot 5}$

$b=4\sqrt{5}$

 

Obliczmy obwód tego trójkąta.

$L_{ABC}=a+b+10=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}+10=6\sqrt{5}+10=2\left(3\sqrt{5}+5\right)$  

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBC mamy:

$4^2+{\left(x+3\right)}^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2$  

$16+x^2+6x+9=4\cdot 13$  

$x^2+6x+25=52$  

$x^2+6x-27=0$  

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot \left(-27\right)=36+108=144$  

$x_1=\frac{-6-12}{2}<0\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$x_2=\frac{-6+12}{2}=\frac{6}{2}=3$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DAC mamy:

$4^2+3^2=y^2$  

$16+9=y^2$  

$25=y^2$  

$5=y$  

 

Obliczmy obwód trójkąta ABC.

$L_{ABC}=3+2\sqrt{13}+5=8+2\sqrt{13}=2\left(4+\sqrt{13}\right)$