$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{4x-1}{x^2-kx+1}$  

Aby wszystkie liczby rzeczywiste były dziedziną funkcji, wyrażenie z mianownika (dla każdej liczby rzeczywistej) nie może być równe 0.

W mianowniku znajduje się trójmian kwadratowy.

Aby trójmian kwadratowy nie miał rozwiązania (nie miał miejsc zerowych) delta musi być mniejsza od 0.

Mamy więc:

$\Delta ={\left(-k\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1$  

$\Delta =k^2-4$  

Wyróżnik kwadratowy ma być mniejszy od 0, więc:

$k^2-4<0$  

$\left(k-2\right)\left(k+2\right)<0$  

Szkicujemy wykres:

Stąd:

$k\in \left(-2,2\right)$   

 

Podsumowując:

Dla  $k\in \left(-2,2\right)$   dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych.

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{4x-1}{x^2-kx+k}$   

Aby wszystkie liczby rzeczywiste były dziedziną funkcji, wyrażenie z mianownika (dla każdej liczby rzeczywistej) nie może być równe 0.

W mianowniku znajduje się trójmian kwadratowy.

Aby trójmian kwadratowy nie miał rozwiązania (nie miał miejsc zerowych) delta musi być mniejsza od 0.

Mamy więc:

$\Delta ={\left(-k\right)}^2-4\cdot 1\cdot k$   

$\Delta =k^2-4k$   

Wyróżnik kwadratowy ma być mniejszy od 0, więc:

$k^2-4k<0$  

$k\left(k-4\right)<0$    

Szkicujemy wykres:

Stąd:

$k\in \left(0,4\right)$   

 

Podsumowując:

Dla  $k\in \left(0,4\right)$   dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych. 

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{4x-1}{k{x}^2+kx+1}$    

Aby wszystkie liczby rzeczywiste były dziedziną funkcji, wyrażenie z mianownika (dla każdej liczby rzeczywistej) nie może być równe 0.

W mianowniku znajduje się trójmian kwadratowy.

Aby trójmian kwadratowy nie miał rozwiązania (nie miał miejsc zerowych) delta musi być mniejsza od 0.

Mamy więc:

$\Delta =k^2-4\cdot k\cdot 1$   

$\Delta =k^2-4k$    

Wyróżnik kwadratowy ma być mniejszy od 0, więc:

$k^2-4k<0$   

$k\left(k-4\right)<0$    

Szkicujemy wykres:

Stąd:

$k\in \left(0,4\right)$   

Zwróćmy także uwagę, że współczynnik k znajduje się przy wyrażeniu x².

Rozpatrzmy osobno przypadek, gdy k jest równe 0 (wówczas w mianowniku nie będzie się znajdować trójmian kwadratowy).

Dla k =0 funkcja f(x) ma postać:

$f\left(x\right)=4x-1$  

Jest więc funkcją liniową.

Jak wiemy dziedziną funkcji liniowej (jeżeli nie jest ona w inny sposób określona) jest zbiór liczb rzeczywistych.

Stąd także dla k=0 otrzymujemy jako dziedzinę funkcji f(x) zbiór liczb rzeczywistych. 

 

Podsumowując:

Dla  $k\in ⟨0,4)$   dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych.