Wyznacz iloczyn f ∙ g oraz iloraz ...- Zadanie 7: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = \frac{x - 2}{2 x + 4}, g (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloczyn miały sens muszą być spełnione warunki:

$2 x + 4 \neq = 0, x + 1 \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 2, - 1}$

$f (x) \cdot g (x) = \frac{x - 2}{2 x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x - 2}{2 \cdot ( x + 2 )} \cdot \frac{( x + 2 )}{x + 1} = \frac{x - 2}{2 ( x + 1 )}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloraz miały sens muszą być spełnione warunki:

$2 x + 4 \neq = 0, x + 1 \neq = 0, x + 2 \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 2, - 1}$

$f (x) : g (x) = \frac{x - 2}{2 x + 4} : \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x - 2}{2 ( x + 2 )} \cdot \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{2 ( x + 2 ) ^{2}}$

$b) f (x) = \frac{4 x - 2}{x ^{2} - 4}, g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 2}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloczyn miały sens muszą być spełnione warunki:

$x^{2} - 4 \neq = 0, x + 2 \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 2, 2}$

$f (x) \cdot g (x) = \frac{4 x - 2}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 2} = \frac{2 ( 2 x - 1 )}{( x - 2 ) \cdot ( x + 2 )} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 2} = \frac{2 ( 2 x - 1 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 ) ^{2}}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloraz miały sens muszą być spełnione warunki:

$x^{2} - 4 \neq = 0, x + 2 \neq = 0, 2 x - 1 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 4, x \neq = - 2, 2 x \neq = 1$

$x \neq = 2, x \neq = - 2, x \neq = \frac{1}{2}$

Stąd:

$x \in R \ {- 2, \frac{1}{2}, 2}$

$f (x) : g (x) = \frac{4 x - 2}{x ^{2} - 4} : \frac{2 x - 1}{x + 2} = \frac{2 ( 2 x - 1 )}{( x - 2 ) \cdot ( x + 2 )} \cdot \frac{x + 2}{2 x - 1} = \frac{2}{x - 2}$

$c) f (x) = \frac{4 x ^{2} - 1}{x + 3}, g (x) = \frac{x ^{2} - 9}{2 x + 1}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloczyn miały sens muszą być spełnione warunki:

$x + 3 \neq = 0, 2 x + 1 \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 3, - \frac{1}{2}}$

$f (x) \cdot g (x) = \frac{4 x ^{2} - 1}{x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{2 x + 1} = \frac{( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )}{x + 3} \cdot \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{2 x + 1} = (2 x - 1) (x - 3)$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloraz miały sens muszą być spełnione warunki:

$x + 3 \neq = 0, x^{2} - 9 \neq = 0, 2 x + 1 \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 3, - \frac{1}{2}, 3}$

$f (x) : g (x) = \frac{4 x ^{2} - 1}{x + 3} \cdot \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 9} = \frac{( 2 x + 1 ) ( 2 x - 1 )}{x + 3} \cdot \frac{2 x + 1}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{( 2 x + 1 ) ^{2} ( 2 x - 1 )}{( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )}$

$d) f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}}, g (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x ^{2} + x}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloczyn miały sens muszą być spełnione warunki:

$x^{2} \neq = 0, x^{2} + x \neq = 0$

$x \neq = 0, x (x + 1) \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {- 1, 0}$

$f (x) \cdot g (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} \cdot \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x ^{2} + x} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} \cdot \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x ( x + 1 )} = \frac{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} - 4 x + 5 )}{x ^{3} ( x + 1 )}$

Aby funkcje f(x), g(x) oraz ich iloraz miały sens muszą być spełnione warunki:

$x^{2} \neq = 0, x (x + 1) \neq = 0$

Stąd:

$x \in R \ {0, - 1}$

$f (x) : g (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} : \frac{x ^{2} - 4 x + 5}{x ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} \cdot \frac{x ( x + 1 )}{x ^{2} - 4 x + 5} = \frac{( x ^{2} - 4 ) ( x + 1 )}{x ( x ^{2} - 4 x + 5 )}$