Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że punkt E to punkt styczności okręgu i ramienia BC, zatem kąt OCE to kąt prosty.

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle ECO\right|=\alpha$  

Łatwo zauważyć, że  $\left|\sphericalangle ACD\right|=\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ACD mamy:

$\left|\sphericalangle DAC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ECO mamy:

$\left|\sphericalangle EOC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$  

 

Zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty BCD i OCE są podobne.

---

$\text{a)}$  

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{1}{2}\left|AB\right|\right)}^2+{\left|CD\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

${\left(\frac{1}{2}\cdot 4\right)}^2+{\left|CD\right|}^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2$  

$4+{\left|CD\right|}^2=40$  

${\left|CD\right|}^2=36$  

$\left|CD\right|=6$  

 

Z podobieństwa trójkątów mamy:

$\frac{\left|DB\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|OE\right|}{\left|OC\right|}$  

$\frac{\frac{1}{2}\cdot 4}{2\sqrt{10}}=\frac{r}{\left|CD\right|-r}$  

$\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{r}{6-r}$  

$2\left(6-r\right)=2\sqrt{10}r$  

$12-2r=2\sqrt{10}r\mid :2$  

$6-r=\sqrt{10}r$  

$6=\sqrt{10}r+r$  

$6=r\left(\sqrt{10}+1\right)$  

$\frac{6}{\sqrt{10}+1}=r$  

$\frac{6\left(\sqrt{10}-1\right)}{{\sqrt{10}}^2-1^2}=r$  

$\frac{6\left(\sqrt{10}-1\right)}{10-1}=r$  

$\frac{6\left(\sqrt{10}-1\right)}{9}=r$  

$\frac{2\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}=r$  

---

$\text{b)}$  

$\frac{\left|BE\right|}{\left|EC\right|}=\frac{1}{2}$  

$2\left|BE\right|=\left|EC\right|$  

Zatem:

$\left|BC\right|=\left|BE\right|+\left|EC\right|$  

$\left|BC\right|=\left|BE\right|+2\left|BE\right|$  

$\left|BC\right|=3\left|BE\right|$  

Łatwo zauważyć, że |BE|=|DB|, zatem:

${\left|CD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

$3^2+{\left|BE\right|}^2={\left(3\left|BE\right|\right)}^2$  

$9+{\left|BE\right|}^2=9{\left|BE\right|}^2$  

$9=8{\left|BE\right|}^2$  

$\frac{9}{8}={\left|BE\right|}^2$  

$\frac{3}{2\sqrt{2}}=\left|BE\right|$  

$\frac{3\sqrt{2}}{4}=\left|BE\right|$  

 

$\frac{\left|CD\right|}{\left|CB\right|}=\frac{\left|CE\right|}{\left|CO\right|}$  

$\frac{3}{3\left|BE\right|}=\frac{2\left|BE\right|}{\left|CD\right|-r}$  

$\frac{3}{3\left|BE\right|}=\frac{2\left|BE\right|}{3-r}$  

$3\left(3-r\right)=6{\left|BE\right|}^2$  

$3-r=2{\left|BE\right|}^2$  

$3-r=2\cdot \frac{9}{8}$  

$3-\frac{9}{4}=r$  

$3-2\frac{1}{4}=r$  

$\frac{3}{4}=r$