Oznaczmy:

r - promień okręgu wpisanego w większy trójkąt równoboczny

R - promień okręgu opisanego na większym trójkącie równobocznym

a - długość boku większego trójkąta równobocznego

b - długość boku mniejszego trójkąta równobocznego

 

Z treści zadania wiemy, że:

$2\pi r+2\pi R=12\pi \mid :2\pi$      

$r+R=6$  

Łatwo zauważyć, że sumy tych promieni to wysokość większego z trójkątów, zatem:

$h_a=6$  

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=6$  

$a\sqrt{3}=12\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{12}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{12\sqrt{3}}{3}$  

$a=4\sqrt{3}$  

 

Wyznaczmy $r.$  

$r=\frac{1}{3}h$  

$r=\frac{1}{3}\cdot 6$  

$r=2$  

Wyznaczmy $b.$   Zauważmy, że $r$   to promień okręgu opisanego na trójkącie o boku $b.$  

$\frac{2}{3}\cdot h_b=2$  

$\frac{2}{3}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}=2$  

$\frac{b\sqrt{3}}{3}=2$  

$b\sqrt{3}=6\mid :\sqrt{3}$  

$b=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

$b=\frac{6\sqrt{3}}{3}$  

$b=2\sqrt{3}$  

 

Obliczmy sumę obwodów tych trójkątów równobocznych.

$3\cdot a+3\cdot b=3\cdot 4\sqrt{3}+3\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}+6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$