Przyjmijmy oznaczenie:

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$

$R$ - promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$

---

a)

Korzystamy z twierdzenia o cięciwach:

$2\cdot \left(x+2+x\right)=4\cdot 3$  

$2\cdot \left(2x+2\right)=12\mid :2$  

$2x+2=6$  

$2x=4$  

$x=2$  

$\left|AO\right|=2+2=4$  

Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ wynosi $4.$

 

Zauważmy, że $\left|PC\right|=4,\left|PO\right|=x=2,\left|OC\right|=R=4.$  

Zauważmy, że trójkąt  $POC$  jest równoramienny.

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$1^2+h^2=4^2$  

$h^2=15$  

$h=\sqrt{15}$  

 

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \sqrt{15}=4\sqrt{15}$