Znajdź wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu.- Zadanie 5: Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wiemy, że jeżeli wielomian W(x) ma pierwiastki wymierne to są one w postaci p/q, gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze wielomianu W(x).

$a) W (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 7$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego W(x) są liczby -7, -1, 1, 7. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem W(x):

$W (- 7) = 2 \cdot (- 7)^{3} + 5 \cdot (- 7)^{2} - 5 \cdot (- 7) + 7 = 2 \cdot (- 343) + 5 \cdot 49 + 35 + 7 = - 686 + 245 + 42 = - 399 \neq = 0$

$W (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) + 7 = 2 \cdot (- 1) + 5 \cdot 1 + 5 + 7 = - 2 + 5 + 12 = 15 \neq = 0$

$W (1) = 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 7 = 2 + 5 - 5 + 7 = 9 \neq = 0$

$W (7) = 2 \cdot 7^{3} + 5 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + 7 = 2 \cdot 343 + 5 \cdot 49 - 35 + 7 > 0$

Żaden z dzielników liczby 7 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Wielomian W(x) ma wszystkie współczynniki całkowite, więc spełnia założenia twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wynika z niego, że: