Rozwiąż równanie.- Zadanie 6: Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych:

Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego tego wielomianu.

$a) 5 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -1, 1.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$5 \cdot 1^{3} + 10 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1 + 1 = 5 + 10 + 6 + 1 = 22 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$5 \cdot (- 1)^{3} + 10 \cdot (- 1)^{3} + 6 \cdot (- 1) + 1 = - 5 + 10 - 6 + 1 = 0$

Liczba -1 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (5x³+10x²+6x+1):(x+1), stosując schemat Hornera:

	$5$	$10$	$6$	$1$
$- 1$	$5$	$5$	$1$	$0$

Otrzymujemy:

$5 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 1 = (x + 1) (5 x^{2} + 5 x + 1)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 5x²+5x+1:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 25 - 20 = 5, Δ = 5$

$x_{1} = \frac{- 5 - 5}{2 \cdot 5} = \frac{- 5 - 5}{10}$

$x_{2} = \frac{- 5 + 5}{2 \cdot 5} = \frac{- 5 + 5}{10}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = \frac{- 5 - 5}{10} lub x = \frac{- 5 + 5}{10} lub x = - 1$

$b) 3 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x - 3 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -3, -1, 1, 3.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$3 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 3 = 3 + 8 - 4 - 3 = 4 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$3 \cdot (- 1)^{3} + 8 \cdot (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) - 3 = - 3 + 8 + 4 - 3 = 6 \neq = 0$

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=3 otrzymujemy:

$3 \cdot 3^{3} + 8 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - 3 = 81 + 72 - 12 - 3 = 138 \neq = 0$

Liczba 3 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-3 otrzymujemy:

$3 \cdot (- 3)^{3} + 8 \cdot (- 3)^{2} - 4 \cdot (- 3) - 3 = - 81 + 72 + 12 - 3 = 0$

Liczba -3 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (3x³+8x²-4x-3):(x+3), stosując schemat Hornera:

	$3$	$8$	$- 4$	$- 3$
$- 3$	$3$	$- 1$	$- 1$	$0$

Otrzymujemy:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x - 3 = (x + 3) (3 x^{2} - x - 1)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 3x²-x-1:

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1) = 1 + 12 = 13, Δ = 13$

$x_{1} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 13}{6}$

$x_{2} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 13}{6}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - 3 lub x = \frac{1 - 13}{6} lub x = \frac{1 + 13}{6}$

$c) 10 x^{3} + 11 x^{2} - 16 x + 4 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$10 \cdot 1^{3} + 11 \cdot 1^{2} - 16 \cdot 1 + 4 = 10 + 11 - 16 + 4 = 9 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$10 \cdot (- 1)^{3} + 11 \cdot (- 1)^{2} - 16 \cdot (- 1) + 4 = - 10 + 11 + 16 + 4 = 21 \neq = 0$

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=2 otrzymujemy:

$10 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 4 = 80 + 44 - 32 + 4 = 96 \neq = 0$

Liczba 2 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-2 otrzymujemy:

$10 \cdot (- 2)^{3} + 11 \cdot (- 2)^{2} - 16 \cdot (- 2) + 4 = - 80 + 44 + 32 + 4 = 0$

Liczba -2 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (10x³+11x²-16x+4):(x+2), stosując schemat Hornera:

	$10$	$11$	$- 16$	$4$
$- 2$	$10$	$- 9$	$2$	$0$

Otrzymujemy:

$10 x^{3} + 11 x^{2} - 16 x + 4 = (x + 2) (10 x^{2} - 9 x + 2)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 10x²-9x+2:

$Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1, Δ = 1 = 1$

$x_{1} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

$x_{2} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - 2 lub x = \frac{2}{5} lub x = \frac{1}{2}$

$d) 4 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 2 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -2, -1, 1, 2.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$4 \cdot 1^{3} - 12 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 2 = 4 - 12 + 9 - 2 = - 1 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$4 \cdot (- 1)^{3} - 12 \cdot (- 1)^{2} + 9 \cdot (- 1) - 2 = - 4 - 12 - 9 - 2 = - 27 \neq = 0$

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=2 otrzymujemy:

$4 \cdot 2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 2 = 32 - 48 + 18 - 2 = 0$

Liczba 2 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (4x³-12x²+9x-2):(x-2), stosując schemat Hornera:

	$4$	$- 12$	$9$	$- 2$
$2$	$4$	$- 4$	$1$	$0$

Otrzymujemy:

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 2 = (x - 2) (4 x^{2} - 4 x + 1)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 4x²-4x+1:

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

$(2 x - 1)^{2} = 1$

$2 x - 1 = 0$

$2 x = 1 ∣ : 2$

$x = \frac{1}{2}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = \frac{1}{2} lub x = 2$

$e) 8 x^{3} - 26 x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -9, -3, -1, 1, 3, 9.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$8 \cdot 1^{3} - 26 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9 = 8 - 26 + 3 + 9 = - 6 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$8 \cdot (- 1)^{3} - 26 \cdot (- 1)^{2} + 3 \cdot (- 1) + 9 = 8 \cdot (- 1) - 26 - 3 + 9 = - 8 - 29 + 9 = - 28 \neq = 0$

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=3 otrzymujemy:

$8 \cdot 3^{3} - 26 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 9 = 8 \cdot 27 - 26 \cdot 9 + 9 + 9 = 216 - 234 + 18 = 0$

Liczba 3 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (8x³-26x²+3x+9):(x-3), stosując schemat Hornera:

	$8$	$- 26$	$3$	$9$
$3$	$8$	$- 2$	$- 3$	$0$

Otrzymujemy:

$8 x^{3} - 26 x^{2} + 3 x + 9 = (x - 3) (8 x^{2} - 2 x - 3)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu 8x²-2x-3:

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3) = 4 + 96 = 100, Δ = 100 = 10$

$x = \frac{2 - 10}{2 \cdot 8} = \frac{- 8}{16} = - \frac{1}{2} lub x = \frac{2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - \frac{1}{2} lub x = \frac{3}{4} lub x = 3$

$f) 3 x^{4} + 6 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -3, -1, 1, 3.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$3 \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 - 4 = 3 + 6 - 8 + 2 - 3 = 0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (3x³+6x²-8x²+2x-3):(x-1), stosując schemat Hornera:

	$3$	$6$	$- 8$	$2$	$- 3$
$1$	$3$	$9$	$1$	$3$	$0$

Otrzymujemy:

$3 x^{4} + 6 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (3 x^{3} + 9 x^{2} + x + 3)$

Obliczamy pierwiastki wielomianu 3x³+9x²+x+3:

$3 x^{3} + 9 x^{2} + x + 3 = 0$

$3 x^{2} (x + 3) + (x + 3) = 0$

$(x + 3) (3 x^{2} + 1) = 0$

$x + 3 = 0 lub 3 x^{2} + 1 = 0$

$x = - 3 lub r. sprzeczne 3 x^{2} = - 1 < 0$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - 3 lub x = 1$

$g) 2 x^{4} - 5 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 4 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$2 \cdot 1^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 - 4 = 2 - 5 - 2 + 10 - 4 = 1 \neq = 0$

Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

$2 \cdot (- 1)^{4} - 5 \cdot (- 1)^{3} - 2 \cdot (- 1)^{2} + 10 \cdot (- 1) - 4 = 2 + 5 - 2 - 10 - 4 = - 9 \neq = 0$

Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego równania.

Dla x=2 otrzymujemy:

$2 \cdot 2^{4} - 5 \cdot 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4 = 32 - 40 - 8 + 20 - 4 = 0$

Liczba 2 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (2x⁴-5x³-2x²+10x-4):(x-2), stosując schemat Hornera:

	$2$	$- 5$	$- 2$	$10$	$- 4$
$2$	$2$	$- 1$	$- 4$	$2$	$0$

Otrzymujemy:

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 4 = (x - 2) (2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 2)$

Obliczamy pierwiastki wielomianu 2x³-x²-4x+2:

$2 x^{3} - x^{2} - 4 x + 2 = 0$

$x^{2} (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) = 0$

$(2 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

$2 x - 1 = 0 lub x^{2} - 2 = 0$

$2 x = 1 ∣ : 2 lub x^{2} = 2$

$x = \frac{1}{2} lub x = 2 lub x = - 2$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - 2 lub x = \frac{1}{2} lub x = 2 lub x = 2$

$h) - 3 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -3, -1, 1, 3.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem równania.

Dla x=1 otrzymujemy:

$- 3 \cdot 1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 3 = - 3 + 2 - 8 + 6 + 3 = 0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania.

Wykonujemy dzielenie (-3x⁴+2x³-8x²+6x+3):(x-1), stosując schemat Hornera:

	$- 3$	$2$	$- 8$	$6$	$3$
$1$	$- 3$	$- 1$	$- 9$	$- 3$	$0$

Otrzymujemy:

$- 3 x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 6 x + 3 = (x - 1) (- 3 x^{3} - x^{2} - 9 x - 3)$

Obliczamy pierwiastki wielomianu -3x³-x²-9x-3:

$- 3 x^{3} - x^{2} - 9 x - 3 = 0$

$- 3 x^{2} - 9 x - x^{2} - 3 = 0$

$- 3 x (x^{2} + 3) - (x^{2} + 3) = 0$

$(x^{2} + 3) (- 3 x - 1) = 0$

$x^{2} + 3 = 0 lub - 3 x - 1 = 0$

$r. sprzeczne x^{2} = - 3 < 0 lub x = - \frac{1}{3}$

Zatem wszystkie rozwiązania równania to:

$x = - \frac{1}{3} lub x = 1$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Działania na wyrażeniach algebraicznych – wyłączanie czynnika przed nawias

Premium

7:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.