a) Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta jest równa:

$\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }$  

Miara każdego kąta wewnętrznego dowolnego n-kata foremnego wynosi więc:

$\frac{\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{n}$  

Wobec tego:

$\frac{\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{n}={150}^{\circ }\mid \cdot n$  

$\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }={150}^{\circ }\cdot n$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={150}^{\circ }\cdot n\mid -{150}^{\circ }\cdot n$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }-{150}^{\circ }\cdot n=0\mid +{360}^{\circ }$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{150}^{\circ }\cdot n={360}^{\circ }$  

$n\cdot \left({180}^{\circ }-{150}^{\circ }\right)={360}^{\circ }$  

$n\cdot {30}^{\circ }={360}^{\circ }\mid :{30}^{\circ }$  

$n=12$  

Odp. Kąty wewnętrzne 12-kąta foremnego mają po 150^o.

---

b) Sprawdzamy, czy istnieje wielokąt foremny, którego każdy kąt ma miarę 130^o. Korzystamy ze wzoru zapisanego w rozwiązaniu podpunktu a).

$\frac{\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }}{n}={130}^{\circ }\mid \cdot n$  

$\left(n-2\right)\cdot {180}^{\circ }={130}^{\circ }\cdot n$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={130}^{\circ }\cdot n\mid -{130}^{\circ }\cdot n$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }-{130}^{\circ }\cdot n=0\mid +{360}^{\circ }$  

$n\cdot {180}^{\circ }-{130}^{\circ }\cdot n={360}^{\circ }$  

$n\cdot \left({180}^{\circ }-{130}^{\circ }\right)={360}^{\circ }$  

$n\cdot {50}^{\circ }={360}^{\circ }\mid :{50}^{\circ }$  

$n=\frac{36}{5}\notin \mathbb{N}$  

Odp. Nie istnieje wielokąt foremny, którego katy wewnętrzne mają po 130^o.