$\text{a)}\left(x-13\right)\left(x^2-25\right)\left(x+3\right)\ge 0$  

$\left(x-13\right)\left(x-5\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\ge 0$

Znajdujemy pierwiastki wielomianu po lewej stronie nierówności i ustalamy ich krotności:

$\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=13}\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=5}\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=-5}\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=-3}$  

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu

$W\left(x\right)=\left(x-13\right)\left(x-5\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)$  

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni, więc wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)\ge 0\iff x\in (-\infty ,-5⟩\cup <>\cup ⟨13,+\infty )$  

---

$\text{b)}-7\left(3-x\right)\left(x^2+8\right)\left(x^2-100\right)\le 0$  

$7\left(x-3\right)\left(x^2+8\right)\left(x-10\right)\left(x+10\right)\le 0\mid :\left(x^2+8\right),x^2+8>0$  

$7\left(x-3\right)\left(x-10\right)\left(x+10\right)\le 0$  

Znajdujemy pierwiastki wielomianu po lewej stronie nierówności i ustalamy ich krotności:

$\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=3}\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=10}\underset{\text{pierwiastek jednokrotny}}{x=-10}$  

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu

$W\left(x\right)=7\left(x-3\right)\left(x-10\right)\left(x+10\right)$  

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni, więc wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)\le 0\iff x\in (-\infty ,-10⟩\cup ⟨3,10⟩$  

---

$\text{c)}{\left(3x-2\right)}^4{\left(2x^2-4\right)}^3{\left(x+3\right)}^2<0$  

${\left[3\left(x-\frac{2}{3}\right)\right]}^2\cdot {\left[2\left(x^2-2\right)\right]}^3{\left(x+3\right)}^2<0$  

$9{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2\cdot 8{\left(x^2-2\right)}^3\cdot {\left(x+3\right)}^2<0$  

$72{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2{\left[\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\right]}^3{\left(x+3\right)}^2<0$  

$72{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2{\left(x-\sqrt{2}\right)}^3{\left(x+\sqrt{2}\right)}^3{\left(x+3\right)}^2<0$  

Znajdujemy pierwiastki wielomianu po lewej stronie nierówności i ustalamy ich krotności:

$\underset{\text{pierwiastek dwukrotny}}{x=\frac{2}{3}}\underset{\text{pierwiastek trzykrotny}}{x=\sqrt{2}}\underset{\text{pierwiastek trzykrotny}}{x=-\sqrt{2}}\underset{\text{pierwiastek dwukrotny}}{x=-3}$  

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu

$W\left(x\right)=72{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2{\left(x-\sqrt{2}\right)}^3{\left(x+\sqrt{2}\right)}^3{\left(x+3\right)}^2$  

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni, więc wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)<0\iff x\in \left(-\sqrt{2},\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3},\sqrt{2}\right)$  

---

$\text{d)}{\left(x-5\right)}^2{\left(2x^2-8\right)}^3>0$  

${\left(x-5\right)}^2\cdot {\left[2\left(x^2-4\right)\right]}^3>0$  

${\left(x-5\right)}^2\cdot 8{\left(x^2-4\right)}^3>0$  

$8{\left(x-5\right)}^2{\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]}^3>0$  

$8{\left(x-5\right)}^2{\left(x-2\right)}^3{\left(x+2\right)}^3>0$  

Znajdujemy pierwiastki wielomianu po lewej stronie nierówności i ustalamy ich krotności:

$\underset{\text{pierwiastek dwukrotny}}{x=5}\underset{\text{pierwiastek trzykrotny}}{x=2}\underset{\text{pierwiastek trzykrotny}}{x=-2}$  

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu

$W\left(x\right)=8{\left(x-5\right)}^2{\left(x-2\right)}^3{\left(x+2\right)}^3$  

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni, więc wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$W\left(x\right)>0\iff x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,5\right)\cup \left(5,+\infty \right)$