Wykonajmy rysunek pomocniczy:

a) Trójkąt ABC jest równoramienny, zatem:

$\left|AB\right|=6$  

więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=3$  

oraz

$\left|BD\right|=\left|BF\right|=3$  

zatem:

$\left|EC\right|=\left|CF\right|=5-3=2$  

 

Obliczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2+3^2=5^2$  

${\left|CD\right|}^2+9=25$  

${\left|CD\right|}^2=16$  

$\left|CD\right|=4$  

 

Do trójkąt prostokątnego CEO stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

${\left|CO\right|}^2={\left|OE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2$  

${\left(4-r\right)}^2=r^2+2^2$  

$16-8r+r^2=r^2+4$  

$12-8r=0$  

$12=8r$  

$r=\frac{12}{8}$  

$r=\frac{3}{2}$  

---

b) Trójkąt ABC jest równoramienny, zatem:

$\left|AB\right|=24$  

więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=12$  

oraz

$\left|BD\right|=\left|BF\right|=12$  

zatem:

$\left|EC\right|=\left|CF\right|=13-12=1$  

 

Obliczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2+{12}^2={13}^2$  

${\left|CD\right|}^2+144=169$  

${\left|CD\right|}^2=25$  

$\left|CD\right|=5$  

 

Do trójkąt prostokątnego CEO stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

${\left|CO\right|}^2={\left|OE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2$  

${\left(5-r\right)}^2=r^2+1^2$  

$25-10r+r^2=r^2+1$  

$24-10r=0$  

$24=10r$  

$r=\frac{24}{10}$  

$r=2,4$  

---

c) Trójkąt ABC jest równoramienny, zatem:

$\left|AB\right|=36$  

więc:

$\left|AD\right|=\left|AE\right|=18$  

oraz

$\left|BD\right|=\left|BF\right|=18$  

zatem:

$\left|EC\right|=\left|CF\right|=35-18=17$  

 

Obliczmy długość odcinka CD:

${\left|CD\right|}^2+{18}^2={35}^2$  

${\left|CD\right|}^2+324=1225$  

${\left|CD\right|}^2=901$  

$\left|CD\right|=\sqrt{901}$  

 

Do trójkąt prostokątnego CEO stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

${\left|CO\right|}^2={\left|OE\right|}^2+{\left|EC\right|}^2$  

${\left(\sqrt{901}-r\right)}^2=r^2+{17}^2$  

$901-2\sqrt{901}r+r^2=r^2+289$  

$612-2\sqrt{901}r=0$  

$612=2\sqrt{901}r$  

$306=\sqrt{901}r$  

$r=\frac{306}{\sqrt{901}}$  

$r=\frac{306\sqrt{901}}{901}$  

$r=18\sqrt{\frac{17}{53}}$