$a\text{)}x-y=0,{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=8$  

Sprawdźmy czy ta prosta i okrąg mają punkty wspólne:

$S=\left(-1,3\right),r=2\sqrt{2}$  

$d=\frac{\left|-1-3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-4\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$  

zatem: 

$d=r$  

Więc prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny.

Obliczmy współrzędne tego punktu:

$\{\begin{array}{l}x-y=0\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y\\ {\left(y+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y\\ y^2+2y+1+y^2-6y+9=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y\\ 2y^2-4y+10=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y\\ 2y^2-4y+2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y\\ y^2-2y+1=0\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$y^2-2y+1=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$  

$y=\frac{2}{2}=1$  

więc:

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$  

---

$b\text{)}x-y+1=0,{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$  

Sprawdźmy czy ta prosta i okrąg mają punkty wspólne:

$S=\left(-1,3\right),r=3$  

$d=\frac{\left|-1-3+1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

zatem:

$d<r$  

Więc prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.

Obliczmy współrzędne tego punktu:

$\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+1=y\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(x+1-3\right)}^2=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x^2+2x+1+{\left(x-2\right)}^2=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x^2+2x+1+x^2-4x+4=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ 2x^2-2x-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x^2-x-2=0\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$  

więc:

$y_1=-1+1=0$  

$y_2=2+1=3$  

zatem:

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}$