Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AC\right|=\left|CD\right|=\left|DE\right|=\left|EA\right|=5$  

$\left|BC\right|=12$  

$\left|\sphericalangle ACB\right|={90}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle EHA\right|={90}^{\circ }$  

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy:

$5^2+{12}^2={\left|AB\right|}^2$  

$25+144={\left|AB\right|}^2$  

$169={\left|AB\right|}^2$  

$13=\left|AB\right|$

 

Zauważmy, że trójkąty HAE i ABC są podobne, ponieważ:

$\left|\sphericalangle HAE\right|=\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie HAE mamy:

$\left|\sphericalangle HEA\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$  

Wyznaczając miarę kąta CAB mamy:

$\left|\sphericalangle HAE\right|+{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle BAC\right|={180}^{\circ }$  

${90}^{\circ }-\alpha +{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle BAC\right|={180}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\alpha$  

Z sumy miar kątów w trójkącie ABC mamy:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\alpha ={90}^{\circ }-\alpha$

Zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty są podobne.

Z podobieństwa trójkątów mamy:

$\frac{\left|EH\right|}{\left|EA\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{\left|EH\right|}{5}=\frac{5}{13}$  

$\left|EH\right|=\frac{25}{13}$  

oraz

${\left|EH\right|}^2+{\left|HA\right|}^2={\left|EA\right|}^2$  

${\left(\frac{25}{13}\right)}^2+{\left|HA\right|}^2=5^2$  

$\frac{625}{169}+{\left|HA\right|}^2=25$  

${\left|HA\right|}^2=\frac{4225}{169}-\frac{625}{169}$  

${\left|HA\right|}^2=\frac{3600}{169}$  

$\left|HA\right|=\frac{60}{13}$  

 

Obliczmy pole trójkąta HAE.

$P_{HAE}=\frac{1}{2}\cdot \left|EH\right|\cdot \left|HA\right|$  

$P_{HAE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{13}\cdot \frac{60}{13}$  

$P_{HAE}=\frac{750}{169}$