$\frac{x}{x-1}+{\left(\frac{x}{x-1}\right)}^2+{\left(\frac{x}{x-1}\right)}^3+\dots <2$  

 

Zauważmy, że z lewej strony nierówności mamy nieskończony ciąg geometryczny.

Zał:

$\left|q\right|<1$  

$\left|\frac{x}{x-1}\right|<1$  

$\frac{x}{x-1}<1\wedge \frac{x}{x-1}>-1$  

$\frac{x}{x-1}-1<0\wedge \frac{x}{x-1}+1>0$  

$x\left(x-1\right)-{\left(x-1\right)}^2<0\wedge x\left(x-1\right)+{\left(x-1\right)}^2>0$  

$\left(x-1\right)\left(x-\left(x-1\right)\right)<0\wedge \left(x-1\right)\left(x+x-1\right)>0$  

$\left(x-1\right)\left(x-x+1\right)<0\wedge \left(x-1\right)\left(2x-1\right)>0$  

$x-1<0\wedge 2\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)>0$  

$x<1\wedge x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Zatem:

$x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$  

 

Z lewej strony tej nierówności mamy:

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{a_1}{1-q}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{1-\frac{x}{x-1}}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-1}{x-1}-\frac{x}{x-1}}<2$  

$\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-1-x}{x-1}}<2$  

$\frac{x}{x-1}\cdot \frac{x-1}{-1}<2$  

$\frac{x}{-1}<2$  

$x>-2$  

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x\in \left(-2,\frac{1}{2}\right)$