Z treści zadania wiemy, że:

$a_n$   - ciąg geometryczny

$q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

 

Chcemy pokazać, że:  

$a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$  

Zał:

$n-1>0$  

$n>1$  

 

$a_{n-1}\cdot q=a_{n-1}\cdot q^2-a_{n-1}\mid :a_{n-1}\ne 0$  

$q=q^2-1$  

$0=q^2-q-1$  

$0={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$  

$0=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1\mid \cdot 4$  

$0=6+2\sqrt{5}-2\left(1+\sqrt{5}\right)-4$  

$0=6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4$  

$0=0$  

Zatem pokazaliśmy, że każdy wyraz a_n tego ciągu jest równy różnicy dwóch sąsiadujących z nim wyrazów.