Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Niech

A₁ - przełożono dwie kule białe

A₂ - przełożono dwie kule czarne

A₃ - przełożono kule białą i czarną

C - wylosowano kulę czarną

Prawdopodobieństwo, że przełożono dwie kule białe wynosi (mamy 5 kul biały i losujemy najpierw jedną potem drugą)

$P\left(A_1\right)=\frac{\frac{5\cdot 4}{2}}{\frac{8\cdot 7}{2}}=\frac{5\cdot 4}{8\cdot 7}=\frac{5}{14}$

Prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czarną, jeśli przełożono dwie kule białe (mamy 6 białe i 3 czarne)

$P\left(C\mid A_1\right)=\frac{3}{6+3}=\frac{3}{9}$

Prawdopodobieństwo, że przełożono dwie kule czarne wynosi (mamy 3 kule czarne i losujemy najpierw jedną potem drugą)

$P\left(A_2\right)=\frac{\frac{3\cdot 2}{2}}{\frac{8\cdot 7}{2}}=\frac{3\cdot 2}{8\cdot 7}=\frac{3}{28}$  

Prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czarną, jeśli przełożono dwie kule czarne (mamy 4 białe i 5 czarnych)

$P\left(C\mid A_2\right)=\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9}$

Prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czarną i białą wynosi

$P\left(A_3\right)=\frac{5\cdot 3}{\frac{8\cdot 7}{2}}=\frac{15}{28}$  

Prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czarną, jeśli przełożono jedną kulę białą i jedną kulę czarną (mamy 5 białych i 4 czarne)

$P\left(C\mid A_3\right)=\frac{4}{5+4}=\frac{4}{9}$

Zatem otrzymujemy prawdopodobieństwo całkowite

$P\left(C\right)=P\left(C\mid A_1\right)P\left(A_1\right)+P\left(C\mid A_2\right)P\left(A_2\right)+P\left(C\mid A_3\right)P\left(A_3\right)=\frac{3}{9}\cdot \frac{5}{14}+\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{28}+\frac{4}{9}\cdot \frac{15}{28}=\frac{15}{126}+\frac{5}{84}+\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{126}+\frac{5}{84}+\frac{5}{21}=\frac{5}{42}+\frac{5}{84}+\frac{10}{42}=\frac{10}{84}+\frac{5}{84}+\frac{20}{84}=\frac{35}{84}=\frac{5}{12}$