A - wylosowano co najmniej raz sześć oczek

B₁ - wylosowano jedną kulę białą

B₂ - wylosowano dwie kule białe

B₃ - wylosowano trzy kule białe

 

Z treści zadania wiemy, że:

$P\left(B_1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)}=\frac{3}{\frac{5!}{3!\cdot 2!}}=\frac{3}{\frac{4\cdot 5}{2}}=\frac{3}{10}$      

$P\left(B_2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)}=\frac{3\cdot 2}{\frac{5!}{3!\cdot 2!}}=\frac{6}{\frac{4\cdot 5}{2}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$  

$P\left(B_3\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)}=\frac{1}{\frac{5!}{3!\cdot 2!}}=\frac{1}{\frac{4\cdot 5}{2}}=\frac{1}{10}$  

$P\left(A\mid B_1\right)=\frac{1}{6}$  

$P\left(A\mid B_2\right)=\frac{1}{36}+2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{36}+\frac{10}{36}=\frac{11}{36}$  

W powyższym przypadku możemy wylosować (6,6) lub (6,X) lub (X,6), gdzie X oznacza liczbę oczek 1-5

$P\left(A\mid B_3\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{216}+\frac{15}{216}+\frac{75}{216}=\frac{91}{216}$  

W powyższym przypadku możemy wylosować (6,6,6) lub (6,6,X) lub (X,6,6) lub (6,X,6) lub (6,X,X) lub (X,6,X) lub (X,X,6), gdzie X oznacza liczbę oczek 1-5

 

Zatem otrzymujemy:

$P\left(A\right)=P\left(A\mid B_1\right)\cdot P\left(B_1\right)+P\left(A\mid B_2\right)\cdot P\left(B_2\right)+P\left(A\mid B_3\right)\cdot P\left(B_3\right)=$  

$=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{10}+\frac{11}{36}\cdot \frac{3}{5}+\frac{91}{216}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{20}+\frac{11}{60}+\frac{91}{2160}=$  

$=\frac{108}{2160}+\frac{396}{2160}+\frac{91}{2160}=\frac{595}{2160}=\frac{119}{432}$