Suma S3 trzech początkowych wyrazów ...- Zadanie 3.10: Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że:

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6$

$a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} = 6$

$a_{1} (1 + q + q^{2}) = 6$

$a_{1} = \frac{6}{1 + q + q ^{2}}$

oraz

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \frac{16}{3}$

$\frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{16}{3}$

$\frac{\frac{6}{1 + q + q ^{2}}}{1 - q} = \frac{16}{3}$

$\frac{18}{1 + q + q ^{2}} = 16 (1 - q)$

$18 = 16 (1 - q) (1 + q + q^{2})$

$18 = 16 (1 - q^{3})$

$18 = 16 - 16 q^{3}$

$2 = - 16 q^{3}$

$- \frac{2}{16} = q^{3}$

$- \frac{1}{8} = q^{3}$

$- \frac{1}{2} = q$

Zatem:

$a_{1} = \frac{6}{1 + q + q ^{2}}$

$a_{1} = \frac{6}{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}}$

$a_{1} = \frac{6}{\frac{3}{4}}$

$a_{1} = 8$

Zauważmy, że należy rozwiązać nierówność:

$∣ S - S_{n} ∣ < \frac{1}{96}$

$\frac{16}{3} - a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} < \frac{1}{96}$

$\frac{16}{3} - 8 \cdot \frac{1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 - ( \frac{1}{2} )} < \frac{1}{96}$

$\frac{16}{3} - 8 \cdot \frac{1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{n}}{\frac{3}{2}} < \frac{1}{96}$

$\frac{16}{3} - \frac{16}{3} (1 - (- \frac{1}{2})^{n}) < \frac{1}{96}$

$\frac{16}{3} 1 - (1 - (- \frac{1}{2})^{n}) < \frac{1}{96}$

$1 - 1 + (- \frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{512}$

$(- \frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{512}$

$(\frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{512}$

$(\frac{1}{2})^{n} < (\frac{1}{2})^{9}$

$n > 9$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.