a) Sprawdźmy, które wyrazy ciągu $a_n$   znajdują się w otoczeniu o promieniu  $\epsilon >0$  liczby  $0.$  

$\left|a_n\right|<\epsilon$  

$\left|\frac{1}{n+3}\right|<0,000001$  

Wiemy, że  $\frac{1}{n+3}>0\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem mamy:

$\frac{1}{n+3}<\frac{1}{{10}^6}\mid \cdot {10}^6{\left(n+3\right)}^2$  

${10}^6\left(n+3\right)<{\left(n+3\right)}^2$  

${10}^6\left(n+3\right)-{\left(n+3\right)}^2<0$  

$\left(n+3\right)\left({10}^6-n-3\right)<0$  

$\left(n+3\right)\left(-n+999997\right)<0$  

$\left(n+3\right)\left(n-999997\right)>0$  

$n\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(999997,+\infty \right)\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$n\in \left(999997,+\infty \right)$  

Zatem w przedziale  $\left(-0,000001,0,000001\right)$  znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n.$  

Warunek jest spełniony od wyrazu  $M=999998.$  

---

b) Sprawdźmy, które wyrazy ciągu $a_n$   znajdują się w otoczeniu o promieniu  $\epsilon >0$  liczby  $0.$  

$\left|a_n\right|<\epsilon$  

$\left|{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right|<0,01$  

Wiemy, że  ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n>0\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem mamy:

${\left(\frac{1}{3}\right)}^n<0,01$  

$\frac{1}{3^n}<\frac{1}{100}\mid \cdot 100\cdot {\left(3\right)}^n$  

$100<3^n$  

 

Zauważmy, że:

$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243$  

 

Zatem warunek jest spełniony dla:

$n>4$  

$n\in \left(4,+\infty \right)$  

Zatem w przedziale  $\left(-0,01,0,01\right)$  znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n.$  

Warunek jest spełniony od wyrazu  $M=5.$  

---

c) Sprawdźmy, które wyrazy ciągu $a_n$   znajdują się w otoczeniu o promieniu  $\epsilon >0$  liczby  $0.$  

$\left|a_n\right|<\epsilon$  

$\left|-\frac{3}{n^2}\right|<\frac{1}{80}$  

Wiemy, że  $-\frac{3}{n^2}<0\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem mamy:

$\frac{3}{n^2}<\frac{1}{80}\mid \cdot 80n^2$

$240<n^2$  

$0<n^2-240$  

$0<\left(n-\sqrt{240}\right)\left(n+\sqrt{240}\right)$  

$n\in \left(-\infty ,-\sqrt{240}\right)\cup \left(\sqrt{240},+\infty \right)\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$n\in \left(\sqrt{240},+\infty \right)$  

 

Zauważmy, że:

$\sqrt{240}\approx 15,49$  

Zatem w przedziale  $\left(-\frac{1}{80},\frac{1}{80}\right)$  znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n.$  

Warunek jest spełniony od wyrazu  $M=16.$  

---

d) Sprawdźmy, które wyrazy ciągu $a_n$   znajdują się w otoczeniu o promieniu  $\epsilon >0$  liczby  $0.$  

$\left|a_n\right|<\epsilon$  

$\left|4\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^n\right|<0,01$  

$\left|4\cdot \frac{1^n}{{10}^n}\right|<0,01$  

$\left|4\cdot \frac{1}{{10}^n}\right|<0,01$  

Wiemy, że  $\frac{1}{{10}^n}>0\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem mamy:

$\frac{4}{{10}^n}<0,01\mid \cdot 100\cdot {10}^n$

$400<{10}^n$  

Zauważmy, że powyższy warunek jest spełniony dla n>2

Zatem w przedziale  $\left(-0,01,0,01\right)$   znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n.$  

Warunek jest spełniony od wyrazu  $M=3.$