Przypomnijmy:

Granicą ciągu (a_n) jest liczba 0 wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby 0 należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

---

$\text{a)}$  

$a_n=\frac{3}{n+10},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Przyjmijmy  $\epsilon >0.$  

Zatem mamy: 

$\left|a_n\right|<\epsilon \iff \left|\frac{3}{n+10}\right|<\epsilon \iff \frac{3}{n+10}<\epsilon \iff \frac{3}{\epsilon }<n+10\iff \frac{3}{\epsilon }-10<n$  

Wykazaliśmy, że dla dowolnej wartości  $\epsilon >0$   wyrazy o numerach większych niż  $\frac{3}{\epsilon }-10$   należą do otoczenia o promieniu  $\epsilon$   liczby  $0.$  

Zatem

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$  

---

$\text{b)}$  

$a_n=-\frac{7}{n+2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Przyjmijmy  $\epsilon >0.$  

Zatem mamy:

$\left|a_n\right|<\epsilon \iff \left|-\frac{7}{n+2}\right|<\epsilon \iff \frac{7}{n+2}<\epsilon \iff \frac{7}{\epsilon }<n+2\iff \frac{7}{\epsilon }-2<n$  

Wykazaliśmy, że dla dowolnej wartości  $\epsilon >0$   wyrazy o numerach większych niż  $\frac{7}{\epsilon }-2$   należą do otoczenia o promieniu  $\epsilon$   liczby  $0.$  

Zatem

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$  

---

$\text{c)}$  

$a_n=\frac{6}{n^2+5},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Przyjmijmy  $\epsilon >0.$  

Zatem mamy:

$\left|a_n\right|<\epsilon \iff \left|\frac{6}{n^2+5}\right|<\epsilon \iff \frac{6}{n^2+5}<\epsilon \iff \frac{6}{\epsilon }<n^2+5\iff \frac{6}{\epsilon }-5<n^2\iff \sqrt{\frac{6}{\epsilon }-5}<n$  

Wykazaliśmy, że dla dowolnej wartości  $\epsilon >0$   wyrazy o numerach większych niż  $\sqrt{\frac{6}{\epsilon }-5}$   należą do otoczenia o promieniu  $\epsilon$   liczby  $0.$  

Zatem

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$  

---

$\text{d)}$  

$a_n=-\frac{2}{\sqrt{n+4}},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Przyjmijmy  $\epsilon >0.$  

Zatem mamy:

$\left|a_n\right|<\epsilon \iff \left|-\frac{2}{\sqrt{n+4}}\right|<\epsilon \iff \frac{2}{\sqrt{n+4}}<\epsilon \iff \frac{2}{\epsilon }<\sqrt{n+4}\iff \frac{4}{{\epsilon }^2}<n+4\iff \frac{4}{{\epsilon }^2}-4<n$  

Wykazaliśmy, że dla dowolnej wartości  $\epsilon >0$   wyrazy o numerach większych niż  $\frac{4}{{\epsilon }^2}-4$   należą do otoczenia o promieniu  $\epsilon$   liczby  $0.$  

Zatem

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$