Przyjmijmy oznaczenia:

$x$  - pierwszy składnik,  $x>0,$  

$12-x$  - drugi składnik,  $12-x>0,$  stąd  $0<x<12.$  

Tworzymy funkcję określającą sumę sześcianów tych dwóch składników. 

$f\left(x\right)=x^3+{\left(12-x\right)}^3=x^3+1728-432x+36x^2-x^3=$  

$=36x^2-432x+1728$  

Szukamy takiej wartości  $x\in \left(0;12\right),$  dla której funkcja  $f$  przyjmuje wartość najmniejszą.

Obliczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=72x-432$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór  $D_{f{}^{\prime }}=\left(0;12\right).$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$72x-432=0\mid +432$  

$72x=432\mid :72$  

$x=6$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$72x-432>0\mid +432$  

$72x>432\mid :72$  

$x>6$  

$x\in \left(6;12\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$72x-432<0\mid +432$  

$72x<432\mid :72$  

$x<6$  

$x\in \left(0,6\right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział  $\left(6;12\right).$  W przedziale tym funkcja  $f$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest przedział  $\left(0;6\right).$  W przedziale tym funkcja  $f$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $f$  zmienia znak z " $-$ " na " $+$ " w punkcie  $x=6.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=6$  funkcja  $f$  ma minimum.

Dla  $x=6$  funkcja  $f$  przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale  $\left(0;12\right).$  

Składniki, które po dodaniu dają 12 i których suma sześcianów jest najmniejsza, to: 6 i 6.