Dziedziną funkcji $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, czyli  $D_f=⟨0;+\infty ).$   

Szukamy takiej wartości  $x,$  dla której funkcja  $P\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^3+4x^2+10x-7$  przyjmuje wartość największą.

Obliczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-2x^2+8x+10$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, czyli  $D_{f{}^{\prime }}=⟨0;+\infty ).$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$-2x^2+8x+10=0\mid :2$  

$x^2-4x-5=0$  

$\left(x+1\right)\left(x-5\right)=0$  

$x+1=0\text{lub}x-5=0$  

$\underset{\notin D_{f{}^{\prime }}}{x=-1}\text{lub}x=5$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$-2x^2+8x+10>0\mid :2$  

$x^2-4x-5<0$  

$\left(x+1\right)\left(x-5\right)<0$  

$x\in ⟨0;5)$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$-2x^2+8x+10<0\mid :2$  

$x^2-4x-5>0$  

$\left(x+1\right)\left(x-5\right)>0$  

$x\in \left(5;+\infty \right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział  $⟨0;5).$ W przedziale tym funkcja  $f$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest przedział  $\left(5;+\infty \right).$ W przedziale tym funkcja  $f$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $f$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $x=5.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=5$  funkcja  $f$  ma maksimum.

Oznacza to, że największą wartość produkcji zakład osiągnie, jeśli będzie produkował miesięcznie 5 tysięcy elementów.

Odpowiedź: C