$1)$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -1 oraz 1, czyli

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-1,1\right\}.$  

---

$2)$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $f$  z osią  $x.$  

$\frac{2x^2}{x^2-1}=0$  

$2x^2=0$  

$x^2=0$  

$x=0$  

Wykres funkcji  $f$  przecina osie układu współrzędnych w punkcie  $\left(0,0\right).$  

---

$3)$  

Wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziałów określoności i asymptoty.

Wyznaczamy granice w  $-\infty$  oraz w  $+\infty .$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\cdot 2}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{2}{1}=2$  

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\cdot 2}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{2}{1}=2$  

Funkcja  $f$  ma w  $-\infty$  oraz  $+\infty$  granice równe 2, zatem prosta o równaniu  $y=2$  jest jednocześnie asymptotą poziomą lewostronną i prawostronną wykresu funkcji  $f$ , a więc jest asymptotą poziomą wykresu tej funkcji.

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do -1" z lewej strony  $\left(x\to -1^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-1$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do -1" z prawej strony  $\left(x\to -1^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-1$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi.

W punkcie  $x_0=-1$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-1$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=1.$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2}{x^2-1}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do 1" z lewej strony  $\left(x\to 1^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-1$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do 1" z prawej strony  $\left(x\to 1^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-1$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=1$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=1$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$4)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2-1\right)-\left(2x^2\right)\cdot \left(x^2-1\right){}^{\prime }}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{4x\cdot \left(x^2-1\right)-\left(2x^2\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=$  

$=\frac{4x^3-4x-4x^3}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -1 oraz 1, czyli

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\text{}\left\{-1,1\right\}.$  

---

$5)$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2=0}$  

$-4x=0$  

$x=0$  

Tylko w punkcie  $x=0$  funkcja  $f$  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2>0}$  

$-4x>0$  

$x<0$  

$x\in \left(-\infty ;0\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2<0}$  

$-4x<0$  

$x>0$  

$x\in \left(0;+\infty \right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział  $\left(-\infty ;0\right).$  W przedziale tym  funkcja  $f$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest przedział  $\left(0;+\infty \right).$  W przedziale tym funkcja  $f$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $f$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $x=0.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=0$  funkcja  $f$  ma maksimum.

$y_{\max }=f\left(0\right)=\frac{2\cdot 0^2}{0^2-1}=0$  

---

Otrzymane wyniki przedstawiamy w tabeli.

$x$	$\left(-\infty ;-1\right)$	$-1$	$\left(-1;0\right)$	$0$	$\left(0;1\right)$	$1$	$\left(1;+\infty \right)$
$y=f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$y=f\left(x\right)$	$2\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow 2$

---

Szkicujemy wykres funkcji  $f.$