III liceum

III technikum

IV technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom rozszerzony 2022

MATeMAtyka 3. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom podstawowy. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Szkicujemy wykres funkcji&nbsp; f. &nbsp;&nbsp;

a) &nbsp; Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=3x2−4x+1. &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; f′(x)=0. &nbsp; Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.&nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych (mianownik ułamka jest liczbą dodatnią). Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=6x2+3 &nbsp;

a) &nbsp; Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby&nbsp; x=0, &nbsp;czyli&nbsp; Df​=R\{0}. &nbsp; Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈Df​ &nbsp;oraz f′(x)=(x2+x1​)′=(x2)′+(x1​)′=2x+(−x21​)=2x−x21​ &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; f′(x)=0. &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=ax2+2x+1 &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych (mianownik ułamka jest liczbą dodatnią). Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=4x3−4x &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; f′(x)=0. &nbsp; 4x3−4x=0 &nbsp; 4x(x2−1)=0 &nbsp; 4x(x+1)(x−1)=0 &nbsp; Tylko w punktach&nbsp; x=0, &nbsp; x=−1, &nbsp; x=1 &nbsp;funkcja&nbsp; f &nbsp;może mieć ekstrema. Odpowiedź: A, C, D &nbsp;

a) &nbsp; Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=2x+2. &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; f′(x)=0. &nbsp; 2x+2=0    ∣−2 &nbsp; 2x=−2    ∣:2 &nbsp; x=−1 &nbsp; Tylko w punkcie&nbsp; x=−1 &nbsp;funkcja&nbsp; f &nbsp;może mieć ekstremum.&nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; f &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; f &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; x∈R &nbsp;oraz f′(x)=24x2−24x+6 &nbsp;

Szkicujemy wykres funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5980a792ab44dad00e4c67598fe61dc5fdf46bc02dd9cec9dc6ef6ba6d817db6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5980a792ab44dad00e4c67598fe61dc5fdf46bc02dd9cec9dc6ef6ba6d817db6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych (mianownik ułamka jest liczbą dodatnią). Funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/689920b8e090c7ae2551ea7305cb1bbec4baf8229a3291e9a5840e4576304c6d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/689920b8e090c7ae2551ea7305cb1bbec4baf8229a3291e9a5840e4576304c6d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5aff21a50f42b877c16f996ba1b2c236d550141a0f6fc8ab64222033cbbf7855_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5aff21a50f42b877c16f996ba1b2c236d550141a0f6fc8ab64222033cbbf7855_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych (mianownik ułamka jest liczbą dodatnią). Funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b632aba79923249b63908288cfa5c0b7d2131be5cc2f53e2b92fed12b96c7a03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b632aba79923249b63908288cfa5c0b7d2131be5cc2f53e2b92fed12b96c7a03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/92bbfc24a2a8fc153926949b5bed156bc1eb7524fd96610fc0a8056387fc8dbc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/92bbfc24a2a8fc153926949b5bed156bc1eb7524fd96610fc0a8056387fc8dbc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b3082696d3c5bbc8ffad1d1f77d1e2f082d68c5146dd74ec94cc96d07a862d31_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b3082696d3c5bbc8ffad1d1f77d1e2f082d68c5146dd74ec94cc96d07a862d31_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82228cc9b07909fef44108fe68fcf2c80210a3d4321ee8043010d4bf7f5395dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/82228cc9b07909fef44108fe68fcf2c80210a3d4321ee8043010d4bf7f5395dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2aa5a52114bc43760b58752ce86218395f8650c16444881201f15d456c1f08c9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2aa5a52114bc43760b58752ce86218395f8650c16444881201f15d456c1f08c9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Tylko w punktach&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/086dd5c838e6cf2b8ee033cbd58c5f57dec15324fca770460cc2c62add6265cc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/086dd5c838e6cf2b8ee033cbd58c5f57dec15324fca770460cc2c62add6265cc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/def30b55dbbbaafceb51b0d34e35e213b06fd23bc2bd2cebe9858b732b31fec2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/def30b55dbbbaafceb51b0d34e35e213b06fd23bc2bd2cebe9858b732b31fec2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f206b11c23e28cc250ded7fc0098d3823a8467a54340f1ac4e535cb8544493f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f206b11c23e28cc250ded7fc0098d3823a8467a54340f1ac4e535cb8544493f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;może mieć ekstrema. Odpowiedź: A, C, D &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych (mianownik jest liczbą dodatnią). Funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ba83b8f038669f0d10d2643178b1beee39e5b64f8b37685d04e6ade409556c6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ba83b8f038669f0d10d2643178b1beee39e5b64f8b37685d04e6ade409556c6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8983d0c39811a036c50e51dc0c7144715688539ebe628f92225af112771a51d4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8983d0c39811a036c50e51dc0c7144715688539ebe628f92225af112771a51d4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Rozwiązujemy równanie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/92bbfc24a2a8fc153926949b5bed156bc1eb7524fd96610fc0a8056387fc8dbc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/92bbfc24a2a8fc153926949b5bed156bc1eb7524fd96610fc0a8056387fc8dbc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Dziedziną funkcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/252f10c83610ebca1a059c0bae8255eba2f95be4d1d7bcfa89d7248a82d9f111_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ma pochodną w każdym punkcie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/333bfac7643ea5ff14ab64c78ae195bd6514706c053232d607d65b5cff2fb736_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a677d946f266e765f5aece3060079c326df4433f5a88950de81bd547fa93a01c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a677d946f266e765f5aece3060079c326df4433f5a88950de81bd547fa93a01c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Komentarze