Podstawą graniastosłupa prostego jest czworokąt, w którym ...- Zadanie 88: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Ponieważ suma przeciwległych kątów czworokąta ABCD jest równa 180^o, to na czworokącie tym można opisać okrąg. Środek odcinka długości d jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie ABCD.

Suma pól trójkątów AOB, BOC, COD i AOD jest równa polu czworokąta ABCD. Obliczamy pole podstawy graniastosłupa.

$P_{p} = P_{A O B} + P_{B O C} + P_{C O D} + P_{A O D} =$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} d \cdot \frac{1}{2} d \cdot sin (2 β) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} d \cdot \frac{1}{2} d \cdot sin (180^{\circ} - 2 β) +$

$+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} d \cdot \frac{1}{2} d \cdot sin (2 α) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} d \cdot \frac{1}{2} d \cdot sin (180^{\circ} - 2 α) =$

$= \frac{1}{8} d^{2} \cdot sin (2 β) + \frac{1}{8} d^{2} \cdot sin (2 β) + \frac{1}{8} d^{2} \cdot sin (2 α) + \frac{1}{8} d^{2} \cdot sin (2 α) =$

$= \frac{1}{8} d^{2} (sin (2 β) + sin (2 β) + sin (2 α) + sin (2 α)) =$

$= \frac{1}{8} d^{2} (2 sin (2 β) + 2 sin (2 α)) =$

$= \frac{1}{8} d^{2} \cdot 2 (sin (2 β) + sin (2 α)) =$

$= \frac{1}{4} d^{2} (sin (2 β) + sin (2 α)) =$

$= \frac{1}{4} d^{2} \cdot 2 sin (\frac{2 β + 2 α}{2}) \cdot cos (\frac{2 β - 2 α}{2}) =$

$= \frac{1}{2} d^{2} sin (\frac{2 ( β + α )}{2}) \cdot cos (\frac{2 ( β - α )}{2}) =$

$= \frac{1}{2} d^{2} sin (β + α) cos (β - α)$

Z tw. cosinusów dla trójkąta BOD:

$∣ B D ∣^{2} = (\frac{1}{2} d)^{2} + (\frac{1}{2} d)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} d \cdot \frac{1}{2} d \cdot cos (360^{\circ} - (2 α + 2 β)$

$∣ B D ∣^{2} = \frac{1}{4} d^{2} + \frac{1}{4} d^{2} - \frac{1}{2} d^{2} \cdot cos (2 α + 2 β)$

$∣ B D ∣^{2} = \frac{1}{2} d^{2} - \frac{1}{2} d^{2} \cdot cos (2 (α + β))$

$∣ B D ∣^{2} = d^{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot (2 cos^{2} (α + β) - 1))$

$∣ B D ∣^{2} = d^{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 cos^{2} (α + β) + \frac{1}{2})$

$∣ B D ∣^{2} = d^{2} (1 - cos^{2} (α + β))$

$∣ B D ∣^{2} = d^{2} sin^{2} (α + β)$

$∣ B D ∣ = d sin (α + β)$

Wyznaczamy długość wysokości graniastosłupa, wiedząc, że pole zaznaczonego przekroju jest równe S.

$∣ B D ∣ \cdot H = S$

$d sin (α + β) \cdot H = S ∣ : d sin (α + β)$

$H = \frac{S}{d sin ( α + β )}$

Wyznaczamy objętość graniastosłupa.

$V = P_{p} \cdot H = \frac{1}{2} d^{2} sin (β + α) cos (β - α) \cdot \frac{S}{d sin ( α + β )} = \frac{d S cos ( β - α )}{2} =$

$= \frac{d S cos ( - ( β - α ) )}{2} = \frac{d S cos ( α - β )}{2}$

$O d p . V = \frac{d S cos ( α - β )}{2} .$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.