Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia:

$a$  - długość krawędzi podstawy prostopadłościanu,  $a>0,$  

$b$  - długość krawędzi bocznej prostopadłościanu,  $b>0.$  

Suma długości krawędzi prostopadłościanu wynosi $8d.$  Możemy więc zapisać równanie: 

$8a+4b=8d\mid :4$  

$2a+b=2d\mid -2a$  

$b=2d-2a$  

Długość odcinka jest dodatnia, więc

$2d-2a>0\mid +2a$  

$2d>2a\mid :2$  

$d>a$  

Tworzymy funkcję zmiennej $a$  określającą objętość prostopadłościanu.

$V\left(a\right)=a^2\left(2d-2a\right)=2d{a}^2-2a^3=-2a^3+2d{a}^2$  

Szukamy takiej wartości  $a\in \left(0;d\right),$  dla której funkcja  $V$  przyjmuje wartość największą.

Obliczamy pochodną funkcji  $V.$  

$V{}^{\prime }\left(a\right)=-6a^2+4da$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $V$  jest zbiór  $D_{V{}^{\prime }}=\left(0;4\right).$  

Rozwiązujemy równanie  $V\left(a\right)=0.$  

$-6a^2+4da=0$  

$-2a\left(3a-2d\right)=0$  

$-2a=0\text{lub}3a-2d=0$  

$\underset{\notin D_{V{}^{\prime }}}{a=0}\text{lub}3a=2d$  

$a=\frac{2d}{3}$  

Rozwiązujemy nierówność  $V\left(a\right)>0.$  

$-6a^2+4da>0$  

$-2a\left(3a-2d\right)>0$  

$a\in \left(0;\frac{2d}{3}\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $V\left(a\right)<0.$  

$-6a^2+4da<0$  

$-2a\left(3a-2d\right)<0$  

$a\in \left(\frac{2d}{3};d\right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $V\left(a\right)>0$  jest przedział  $\left(0;\frac{2d}{3}\right).$  W przedziale tym funkcja  $V$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $V\left(a\right)<0$  jest przedział  $\left(\frac{2d}{3};d\right).$  W przedziale tym funkcja  $V$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $V$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $a=\frac{2d}{3}.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $a=\frac{2d}{3}$  funkcja  $V$  ma maksimum. Dla  $a=\frac{2d}{3}$  funkcja  $V$  przyjmuje wartość największą w przedziale  $\left(0;d\right).$  Wyznaczamy tę wartość.

$V\left(\frac{2d}{3}\right)=-2\cdot {\left(\frac{2d}{3}\right)}^3+2d\cdot {\left(\frac{2d}{3}\right)}^2=-2\cdot \frac{8d^3}{27}+2d\cdot \frac{4d^2}{9}=$  

$=\frac{-16d^3}{27}+2d\cdot \frac{12d^2}{27}=\frac{-16d^3}{27}+\frac{24d^3}{27}=\frac{8d^3}{27}$  

Prostopadłościanem o największej objętości jest sześcian o krawędzi podstawy  $\frac{2d}{3}.$