$\text{a)}$  

Wykażemy, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x}{x-1}$ . 

Rozpatrzmy dwa różne ciągi $\left(x_n\right)$  argumentów funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$   zbieżne do 1, o wyrazach  $x_n\ne 1$ . 

Ciąg  $x_n=\frac{n+1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{x_n}{x_n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+1}{n}-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+1}{n}-\frac{n}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n+1-n}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{n+1}{n}\cdot n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n+1\right)=\left[+\infty +1\right]=+\infty$  

Ciąg  $x_n=\frac{n-1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{x_n}{x_n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n-1}{n}-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n-1}{n}-\frac{n}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n-1}{n}}{\frac{n-1-n}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{n-1}{n}}{-\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{n-1}{n}\cdot n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-n+1\right)=\left[-\infty +1\right]=-\infty$  

Zatem dla dwóch różnych ciągów argumentów funkcji  $f$  zbieżnych do 1 odpowiadające im ciągi wartości tej funkcji są rozbieżne, odpowiednio do  $+\infty$  i  $-\infty$ . Oznacza to, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x}{x-1}$ . 

---

$\text{b)}$  

Wykażemy, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 0}{\lim }x+\frac{1}{x}$ . 

Rozpatrzmy dwa różne ciągi $\left(x_n\right)$  argumentów funkcji  $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$   zbieżne do 0, o wyrazach  $x_n\ne 0$ . 

Ciąg  $x_n=\frac{1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=0$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{\frac{1}{n}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}+n\right)=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}+\frac{n^2}{n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+n^2}{n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\left(\frac{1}{n}+n\right)}{n}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}+n\right)=+\infty$  

Ciąg  $x_n=-\frac{1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=0$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}+\frac{1}{-\frac{1}{n}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}-n\right)=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}-\frac{n^2}{n}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-1-n^2}{n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\left(-\frac{1}{n}-n\right)}{n}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}-n\right)=-\infty$  

Zatem dla dwóch różnych ciągów argumentów funkcji  $f$  zbieżnych do 0 odpowiadające im ciągi wartości tej funkcji są rozbieżne, odpowiednio do  $+\infty$  i  $-\infty$ . Oznacza to, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 0}{\lim }\left(x+\frac{1}{x}\right)$ . 

---

$\text{c)}$  

Dla każdego  $x\ne 0:$  

$2x^2>0.$  

Dla każdego  $x\ne -2$ : 

${\left(x+2\right)}^2>0$  

oraz 

$\underset{x\to -2}{\lim }{\left(x+2\right)}^2={\left(-2+2\right)}^2=0^2=0,$  

zatem

$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2}{{\left(x+2\right)}^2}=+\infty .$  

---

$\text{d)}$  

Wykażemy, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2}{1-x}$ . 

Rozpatrzmy dwa różne ciągi $\left(x_n\right)$  argumentów funkcji  $f\left(x\right)=\frac{2}{1-x}$   zbieżne do 1, o wyrazach  $x_n\ne 1$ . 

Ciąg  $x_n=\frac{n+1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{1-x_n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{1-\frac{n+1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n}{n}-\frac{n+1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n-\left(n+1\right)}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n-n-1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{-\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n\right)=-\infty$  

Ciąg  $x_n=\frac{n-1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{1-x_n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{1-\frac{n-1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n}{n}-\frac{n-1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n-\left(n-1\right)}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{n-n+1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2n\right)=+\infty$  

Zatem dla dwóch różnych ciągów argumentów funkcji  $f$  zbieżnych do 1 odpowiadające im ciągi wartości tej funkcji są rozbieżne, odpowiednio do  $-\infty$  i  $+\infty$ . Oznacza to, że nie istnieje granica  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2}{1-x}$ . 

---

$\text{e)}$  

Dla każdego  $x\ne -1$ : 

$\left|1-x^2\right|>0$  

oraz 

$\underset{x\to -1}{\lim }\left|1-x^2\right|=\left|1-{\left(-1\right)}^2\right|=\left|1-1\right|=\left|0\right|=0,$  

zatem

$\underset{x\to -1}{\lim }\left|1-x^2\right|=+\infty .$  

---

$\text{f)}$  

Uprośćmy wzór funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}.$  

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}=\frac{x^2-2x+4}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{1}{x+2}$  

Wykażemy, że nie istnieje granica  $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{x+2}$ . 

Rozpatrzmy dwa różne ciągi $\left(x_n\right)$  argumentów funkcji  $f\left(x\right)=\frac{1}{x+2}$   zbieżne do -2, o wyrazach  $x_n\ne -2$ . 

Ciąg  $x_n=\frac{-2n+1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-2$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n+1}{n}+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n+1}{n}+\frac{2n}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n+1+2n}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }n=+\infty$  

Ciąg  $x_n=\frac{-2n-1}{n}$ . Wtedy  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=-2$  oraz 

$\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x_n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n-1}{n}+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n-1}{n}+\frac{2n}{n}}=$  

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{-2n-1+2n}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{-\frac{1}{n}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-n\right)=-\infty$  

Zatem dla dwóch różnych ciągów argumentów funkcji  $f$  zbieżnych do 1 odpowiadające im ciągi wartości tej funkcji są rozbieżne, odpowiednio do  $-\infty$  i  $+\infty$ . Oznacza to, że nie istnieje granica  $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{x+2}$ .