Przekształcamy daną nierówność.

$4{\sin }^4\alpha +{\sin }^{2}2\alpha \ge 3$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

$4{\sin }^4\alpha +\left(1-{\cos }^{2}2\alpha \right)\ge 3$  

$4{\sin }^4\alpha +\left(1-{\left(\cos 2\alpha \right)}^2\right)\ge 3$  

$4{\sin }^4\alpha +1-{\left(\cos 2\alpha \right)}^2\ge 3$  

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.

$4{\sin }^4\alpha +1-{\left(1-2{\sin }^2\alpha \right)}^2\ge 3$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$4{\sin }^4\alpha +1-\left(1-4{\sin }^2\alpha +4{\sin }^4\alpha \right)\ge 3$  

$4{\sin }^4\alpha +1-1+4{\sin }^2\alpha -4{\sin }^4\alpha \ge 3$  

$4{\sin }^2\alpha \ge 3\mid :4$  

${\sin }^2\alpha \ge \frac{3}{4}$  

$\left|\sin \alpha \right|\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\sin \alpha \ge \frac{\sqrt{3}}{2}\vee \sin \alpha \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Naszkicujemy wykres funkcji sinus i proste y=√3/2 oraz y=-√3/2.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności w przedziale ⟨0, 2𝜋〉.

$x\in ⟨\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}⟩\cup ⟨\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3}⟩$