Przyjmijmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-3},$  

$g\left(x\right)=\left|\frac{x^2}{x^2-3}\right|,$  

$h\left(x\right)=m.$  

---

$1)$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb $-\sqrt{3}$  oraz $\sqrt{3},$  czyli

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}.$  

---

$2)$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji  $f$  z osią  $x.$  

$\frac{x^2}{x^2-3}=0\mid \cdot {\left(x^2-3\right)}^2$  

$\left(x^2\right)\left(x^2-3\right)=0$  

$\left(x^2\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)=0$  

$x^2=0\vee x+\sqrt{3}=0\vee x-\sqrt{3}=0$  

$x=0\vee x=-\sqrt{3}\vee x=\sqrt{3}$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $x$  w punktach  $\left(0,0\right),$   $\left(-\sqrt{3},0\right)$  oraz  $\left(\sqrt{3};0\right).$  

Wykres funkcji  $f$  przecina oś  $y$  w punkcie  $\left(0,0\right).$   

---

$3)$  

Wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziałów określoności i asymptoty.

Wyznaczamy granice w  $-\infty$  oraz w  $+\infty .$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{3}{x^2}}=\frac{1}{1}=1$  

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{3}{x^2}}=\frac{1}{1}=1$  

Funkcja  $f$  ma w  $-\infty$  oraz  $+\infty$  granice równe 1, zatem prosta o równaniu  $y=1$  jest jednocześnie asymptotą poziomą lewostronną i prawostronną wykresu funkcji  $f$ , a więc jest asymptotą poziomą wykresu tej funkcji.

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-\sqrt{3}.$  

$\underset{x\to -{\sqrt{3}}^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\left[\frac{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}{0^{+}}\right]=\left[\frac{3}{0^{+}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to -{\sqrt{3}}^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\left[\frac{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}{0^{-}}\right]=\left[\frac{3}{0^{-}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do $-\sqrt{3}$ " z lewej strony  $\left(x\to -{\sqrt{3}}^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-3$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do $-\sqrt{3}$ " z prawej strony  $\left(x\to -{\sqrt{3}}^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-3$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi.

W punkcie  $x_0=-\sqrt{3}$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-\sqrt{3}$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=\sqrt{3}.$  

$\underset{x\to {\sqrt{3}}^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\left[\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{0^{-}}\right]=\left[\frac{3}{0^{-}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to {\sqrt{3}}^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x^2-3}=\left[\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{0^{+}}\right]=\left[\frac{3}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do $\sqrt{3}$ " z lewej strony  $\left(x\to {\sqrt{3}}^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-3$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do $\sqrt{3}$ " z prawej strony  $\left(x\to {\sqrt{3}}^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-3$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=\sqrt{3}$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=\sqrt{3}$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$4)$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{x^2}{x^2-3}\right){}^{\prime }=\frac{\left(x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2-3\right)-x^2\cdot \left(x^2-3\right){}^{\prime }}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{2x\cdot \left(x^2-3\right)-x^2\cdot 2x}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{2x^3-6x-2x^3}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{-6x}{{\left(x^2-3\right)}^2}$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb $-\sqrt{3}$  oraz $\sqrt{3},$  czyli

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\text{}\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}.$  

---

$5)$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$\frac{-6x}{{\left(x^2-3\right)}^2}=0\mid \cdot {\left(x^2-3\right)}^2$  

$-6x=0\mid :\left(-6\right)$  

$x=0$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$\frac{-6x}{{\left(x^2-3\right)}^2}>0\mid \cdot {\left(x^2-3\right)}^2$  

$-6x>0\mid :\left(-6\right)$  

$x<0$  

$x\in \left(-\infty ;0\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\frac{-6x}{{\left(x^2-3\right)}^2}<0\mid \cdot {\left(x^2-3\right)}^2$  

$-6x<0\mid :\left(-6\right)$  

$x>0$  

$x\in \left(0;+\infty \right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział  $\left(-\infty ;0\right).$  W przedziale tym  funkcja  $f$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest przedział  $\left(0;+\infty \right).$  W przedziale tym funkcja  $f$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $f$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $x=0.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=0$  funkcja  $f$  ma maksimum.

$y_{\max }=f\left(0\right)=\frac{0^2}{0^2-3}=0$  

---

Otrzymane wyniki przedstawiamy w tabeli.

$x$	$\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)$	$-\sqrt{3}$	$\left(-\sqrt{3};0\right)$	$0$	$\left(0;\sqrt{3}\right)$	$\sqrt{3}$	$\left(\sqrt{3};+\infty \right)$
$y=f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$y=f\left(x\right)$	$1\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow 1$

---

Szkicujemy wykres funkcji  $f.$  

---

Wykres funkcji $g\left(x\right)=\left|f\left(x\right)\right|$  otrzymujemy przez symetryczne odbicie względem osi $OX$  tej części wykresu funkcji $y=f\left(x\right),$  która znajduje się pod osią $OX,$  pozostałą część wykresu pozostawiamy bez zmian.

Szkicujemy wykres funkcji  $g.$  

---

Równanie  $\left|\frac{x^2}{x^2-3}\right|=m$  ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji  $g\left(x\right)=\left|\frac{x^2}{x^2-3}\right|$  oraz  $h\left(x\right)=m$  (prosta równoległa do osi  $x$ ). 

Równanie  $\left|\frac{x^2}{x^2-3}\right|=m:$  

• nie ma rozwiązań, gdy  $m\in \left(-\infty ;0\right),$  
• ma jedno rozwiązanie, gdy  $m=0,$  
• ma dwa rozwiązania, gdy  $m\in (0;1⟩,$  
• ma cztery rozwiązania, gdy  $m\in \left(1;+\infty \right).$