a) Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^2-9\ne 0\mid +9$  

$x^2\ne 9$  

$\left|x\right|\ne 3$  

$x\ne 3\vee x\ne -3$  

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-3,3\right\}$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\frac{x^2+3x}{x^2-9}=0\mid \cdot \left(x^2-9\right)$  

$x^2+3x=0$  

$x\left(x+3\right)=0$  

$x=0\vee x+3=0$  

$x=0\vee \underset{\notin D_f}{x=-3}$  

Zatem:

$x=0$  

---

---

b) Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x\ne 0$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\frac{2}{x}-x=0$  

$\frac{2}{x}-\frac{x^2}{x}=0$  

$\frac{2-x^2}{x}=0\mid \cdot x$  

$2-x^2=0\mid +x^2$  

$2=x^2$  

$\sqrt{2}=\left|x\right|$  

$x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}$  

Zatem:

$x\in \left\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\right\}$  

---

---

c) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, dodatkowo w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Wobec tego:

$\left|x\right|-6\ne 0\wedge 6-x\ge 0$  

$\left|x\right|\ne 6\wedge 6\ge x$  

$\left(x\ne 6\wedge x\ne -6\right)\wedge x\in (-\infty ,6⟩$  

$D_f=\left(-\infty ,-6\right)\cup \left(-6,6\right)$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\frac{\sqrt{6-x}}{\left|x\right|-6}=0\mid \cdot \left(\left|x\right|-6\right)$  

$\sqrt{6-x}=0\mid {\left(\dots \right)}^2$  

$6-x=0\mid +x$  

$\underset{\notin D_f}{6=x}$  

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

---

d) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, dodatkowo w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Wobec tego:

$4-x\ge 0\wedge x+3\ge 0$  

$-x\ge -4\wedge x\ge -3$  

$x\le 4\wedge x\ge -3$  

$D_f=⟨-3;4⟩$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\sqrt{4-x}+\sqrt{x+3}=0$  

Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia jest liczbą nieujemną. Powyższe równanie byłoby prawdziwe jedynie wtedy, gdyby wyrażenia pod pierwiastkami były równe 0, czyli:

$4-x=0\wedge x+3=0$  

$x=4\wedge x=-3$  

Stąd otrzymujemy, że:

$x\in \varnothing$  

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

---

---

e) Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x\ne 0\wedge x^2\ne 0\wedge x^3\ne 0$  

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x^3}=0$  

$\frac{3x^2}{x^3}-\frac{4x}{x^3}-\frac{4}{x^3}=0$  

$\frac{3x^2-4x-4}{x^3}=0\mid \cdot x^3$  

$3x^2-4x-4=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-4\right)=16+48=64$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{4-8}{6}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$  

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{4+8}{6}=\frac{12}{6}=2$  

Zatem:

$x\in \left\{-\frac{2}{3},2\right\}$  

---

---

f) Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$2\left(x+2\right)\ne 0\mid :2$  

$x+2\ne 0\mid -2$  

$x\ne -2$  

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2\right\}$  

---

Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego f(x)=0.

$\frac{4-x^2}{2\left(x+2\right)}-1=0$  

$\frac{4-x^2}{2\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}=0$  

$\frac{4-x^2-2\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}=0$  

$\frac{4-x^2-2x-4}{2\left(x+2\right)}=0$  

$\frac{-x^2-2x}{2\left(x+2\right)}=0\mid \cdot \left(2\left(x+2\right)\right)$  

$-x^2-2x=0$  

$-x\left(x+2\right)=0$  

$-x=0\vee x+2=0$  

$x=0\vee \underset{\notin D_f}{x=-2}$  

Zatem:

$x=0$