Wyznacz dziedzinę funkcji ...- Zadanie 3: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, dodatkowo w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. Oznacza to, że dziedzinę funkcji f stanowi zbiór rozwiązań nierówności:

$x^{2} - 22 x - 6 > 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 22)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 8 + 24 = 32$

Wyznaczamy pierwiastki równania x²-2√2x-6=0.

$x_{1} = \frac{- ( - 2 2 ) - 32}{2 \cdot 1} = \frac{2 2 - 4 2}{2} = \frac{- 2 2}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- ( - 2 2 ) + 32}{2 \cdot 1} = \frac{2 2 + 4 2}{2} = \frac{6 2}{2} = 32$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=1), więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Dziedziną funkcji f jest więc suma zbiorów:

$D_{f} = (- \infty; - 2) \cup (32; + \infty)$

b) Wyznaczając dziedzinę tej funkcji, musimy mieć na uwadze dwie rzeczy:

1. Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, więc:

$2 x^{2} - 6 x - 36 \geq 0 ∣ : 2$

$x^{2} - 3 x - 18 \geq 0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18) = 9 + 72 = 81$

Wyznaczamy pierwiastki równania x²-2√2x-6=0.

$x_{1} = \frac{- ( - 3 ) - 81}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- ( - 3 ) + 81}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=1), więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - 3 ⟩ \cup ⟨ 6; + \infty)$

2. Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, dodatkowo w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne, stąd:

$8 x - x^{2} > 0$

$x (8 - x) > 0$

Rozwiążmy równanie x(8-x)=0.

$x (8 - x) = 0$

$x = 0 \lor 8 - x = 0$

$x = 0 \lor x = 8$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną (a=-1), więc ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (0; 8)$

Łącząc oba warunki, otrzymujemy:

$D_{f} = ⟨ 6; 8)$

c) Wyznaczając dziedzinę tej funkcji, musimy mieć na uwadze dwie rzeczy:

1. Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, więc:

$8 - ∣ x + 2 ∣ \geq 0 ∣ - 8$

$- ∣ x + 2 ∣ \geq - 8 ∣ \cdot (- 1)$

$∣ x + 2 ∣ \leq 8$

Zatem:

$x + 2 \leq 8 \land x + 2 \geq - 8$

$x \leq 6 \land x \geq - 10$

$x \in ⟨ - 10; 6 ⟩$

2. Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, dodatkowo w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne, stąd:

$∣ 2 x - 6 ∣ - 4 > 0 ∣ + 4$

$∣ 2 x - 6 ∣ > 4$

Zatem:

$2 x - 6 > 4 \lor 2 x - 6 < - 4$

$2 x > 10 \lor 2 x < 2$

$x > 5 \lor x < 1$

$x \in (- \infty; 1) \cup (5; + \infty)$

Łącząc oba warunki, otrzymujemy:

$D_{f} = ⟨ - 10; 1) \cup (5; 6 ⟩$

d) Wyznaczając dziedzinę tej funkcji, musimy mieć na uwadze trzy rzeczy:

1. Podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią i różną od 1, stąd:

$2 x^{2} + x > 0$

$x (2 x + 1) > 0$

Rozwiążmy równanie x(2x+1)=0.

$x (2 x + 1) = 0$

$x = 0 \lor 2 x + 1 = 0$

$x = 0 \lor 2 x = - 1$

$x = 0 \lor x = - \frac{1}{2}$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=2), więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (0; + \infty)$
$2 x^{2} + x \neq = 1 ∣ - 1$

$2 x^{2} + x - 1 \neq = 0$

Rozwiążmy równanie 2x²+x-1=0.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$

Wyznaczamy pierwiastki równania 2x²+x-1=0.

$x_{1} = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 - 3}{4} = \frac{- 4}{4} = - 1$

$x_{2} = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{- 1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Mamy więc:
$x \neq = - 1 \land x \neq = \frac{1}{2}$

Łącząc oba warunki otrzymujemy:

$x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; - \frac{1}{2}) \cup (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$

2. Liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli:

$2 x^{2} + ∣ x ∣ - 1 > 0$

Z definicji wartości bezwzględnej:

$∣ x ∣ = {x dla x \geq 0 - x dla x < 0$

Do rozpatrzenia mamy więc dwa przypadki:

$x \in (- \infty; 0)$

$2 x^{2} + (- x) - 1 > 0$

$2 x^{2} - x - 1 > 0$

Rozwiążmy równanie 2x²-x-1=0.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$

Wyznaczamy pierwiastki równania 2x²-x-1=0.

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=2), więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

Uwzględniając badany przedział, otrzymujemy:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2})$
$x \in ⟨ 0; + \infty)$

$2 x^{2} + x - 1 > 0$

Rozwiążmy równanie 2x²+x-1=0.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9$

Wyznaczamy pierwiastki równania 2x²-x-1=0.

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią (a=2), więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

Uwzględniając badany przedział, otrzymujemy:

$x \in (1; + \infty)$

Stąd otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

3. Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem arytmetycznym drugiego stopnia jest nieujemne, zatem:

$2 x^{2} + ∣ x ∣ - 1 \geq 0$

Określając dziedzinę logarytmu, rozwiązaliśmy już nierówność 2x²+|x|-1>0. Zbiór rozwiązań tej nierówności jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności 2x²+|x|-1≥0, więc nie będziemy się już skupiać na tym przypadku.

Dziedziną funkcji f jest część wspólna zbiorów otrzymanych w warunkach 1 oraz 2, czyli:

$D_{f} = (- \infty; - 1) \cup (- 1; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.