$\text{a)}$  

Dziedziną funkcji $f$  jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że

$x^3+2x^2-3x-6\ne 0$  

$x^2\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)\ne 0$  

$\left(x+2\right)\left(x^2-3\right)\ne 0$  

$\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\ne 0$  

$x\ne -2\text{i}x\ne -\sqrt{3}\text{i}x\ne \sqrt{3}$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zatem zbiór  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$ . 

Funkcja  $f$ , będąca funkcją wymierną, jest ciągła w punkcie  $x_0=1$   $\left(1\in D_f\right).$  Stąd 

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{2\cdot 1+4}{1^3+2\cdot 1^2-3\cdot 1-6}=\frac{2+4}{1+2-3-6}=\frac{6}{-6}=-1.$  

---

$\text{b)}$  

Dziedziną funkcji $f$  jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że

$x^2-4x^3\ne 0$  

$x^2\left(1-4x\right)\ne 0$  

$x\ne 0\text{i}x\ne \frac{1}{4}$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zatem zbiór  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{0,\frac{1}{4}\right\}$ . 

Dla  $x=0$  licznik i mianownik we wzorze funkcji  $f$  są równe 0. Aby obliczyć podaną granicę, rozkładamy wielomian w mianowniku na czynniki i skracamy odpowiednie wyrażenia.

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2}{x^2-4x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2}{x^2\left(1-4x\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3}{1-4x}=\frac{3}{1-4\cdot 0}=\frac{3}{1}=3$  

---

$\text{c)}$  

Dziedziną funkcji $f$  jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że

$x^2+x-1\ne 0$  

$\Delta =1^2-1\cdot 4\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$  

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\cdot 1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zatem zbiór  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$ . 

Funkcja  $f$ , będąca funkcją wymierną, jest ciągła w punkcie  $x_0=-2$   $\left(-2\in D_f\right).$  Stąd

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)=\frac{2\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)-4}{{\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)-1}=\frac{2\cdot 4-6-4}{4-2-1}=\frac{8-10}{1}=-2.$  

---

$\text{d)}$  

Mianownik ułamka musi być różny od 0, ponieważ w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne. 

$2x-5\ne 0$  

$2x\ne 5$  

$x\ne 2,5$  

Nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej.

$x+3\ge 0$  

$x\ge -3$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zatem zbiór  $D_f=⟨-3;2,5)\cup \left(2,5;+\infty \right)$ . 

Funkcja  $f$  jest ciągła w punkcie  $x_0=3$   $\left(3\in D_f\right).$  Stąd

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=\frac{\sqrt{3+3}-1}{2\cdot 2-5}=\frac{\sqrt{6}-1}{4-5}=\frac{\sqrt{6}-1}{-1}=1-\sqrt{6}.$