a)

Długość odcinka, który mamy zbudować oznaczmy przez  $x$ . 

$x=\frac{a^2}{b}$  

Zauważmy, że równość tę możemy zapisać w postaci

$\frac{x}{a}=\frac{a}{b}.$  

Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O i dwie dowolne, różne (nie przedłużające się do prostej) półproste o początku w tym punkcie. Na jednym ramieniu otrzymanego kąta odkładamy od jego wierzchołka O odcinki $a$  i  $b$ , a na drugim odcinek $a$ .

Przez końce odcinków  $b$  i  $a$  (leżące na różnych półprostych) prowadzimy prostą  $k$ , a przez koniec odcinka  $a$  prostą  $l$  równoległą do  $k$ . Prosta  $l$  przetnie ramię danego kąta, na którym leży odcinek  $a$ , w takim punkcie P, że OP =  $x$ .

Z twierdzenia Talesa dla kąta przy wierzchołku O i prostych równoległych $l$  i  $k$  otrzymalibyśmy równość

$\frac{a}{b}=\frac{x}{a}.$  

---

b)

Długość odcinka, który mamy zbudować oznaczmy przez  $y$ . 

$y=\frac{a\left(a+b\right)}{b}$  

Zauważmy, że równość tę możemy zapisać w postaci

$\frac{y}{a+b}=\frac{a}{b}.$  

Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O i dwie dowolne, różne (nie przedłużające się do prostej) półproste o początku w tym punkcie. Na jednym ramieniu otrzymanego kąta odkładamy od jego wierzchołka O odcinki $a$  i  $b$ , a na drugim odcinek $a+b$ .

Przez końce odcinków  $b$  i  $a+b$  prowadzimy prostą  $m$ , a przez koniec odcinka  $a$  prostą  $n$  równoległą do  $m$ . Prosta  $n$  przetnie ramię danego kąta, na którym leży odcinek  $a$ , w takim punkcie Q, że OQ =  $y$ .

Z twierdzenia Talesa dla kąta przy wierzchołku O i prostych równoległych $m$  i  $n$  otrzymalibyśmy równość

$\frac{a}{b}=\frac{y}{a+b}.$  

Odcinek  $y$  mogliśmy też zbudować w inny sposób - szybszy. Zauważmy, że

$y=\frac{a\left(a+b\right)}{b}=\frac{a^2+ab}{b}=\frac{a^2}{b}+\frac{ab}{b}=\frac{a^2}{b}+a=x+a.$  

Odcinek o długości  $x$  zbudowaliśmy już w podpunkcie a), a odcinek o długości  $a$  mamy dany, więc, by zbudować odcinek o długości  $y$  wystarczy na jednej półprostej odłożyć odcinki o tych długościach.

---

c)

Długość odcinka, który mamy zbudować oznaczmy przez  $z$  i zauważmy, że

$z=\left(a+b\right)\frac{a^2}{b^2}=\frac{a^3+a^{2}b}{b^2}=\frac{a^3}{b^2}+\frac{a^{2}b}{b^2}=\left(\frac{a^2}{b}\cdot \frac{a}{b}\right)+\frac{a^2}{b}=\left(x\cdot \frac{a}{b}\right)+x.$  

Odcinek o długości  $x$  zbudowaliśmy już w podpunkcie a). Teraz zajmiemy się budową drugiego odcinka - jego długość oznaczmy przez  $d$ . 

$d=x\cdot \frac{a}{b}$  

Zauważmy, że równość tę możemy zapisać w postaci

$\frac{d}{x}=\frac{a}{b}$  

Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O i dwie dowolne, różne (nie przedłużające się do prostej) półproste o początku w tym punkcie. Na jednym ramieniu otrzymanego kąta odkładamy od jego wierzchołka O odcinki $a$  i  $b$ , a na drugim odcinek $x$ .

Przez końce odcinków  $b$  i  $x$  prowadzimy prostą  $c$ , a przez koniec odcinka  $a$  prostą  $d$  równoległą do  $c$ . Prosta  $d$  przetnie ramię danego kąta, na którym leży odcinek  $a$ , w takim punkcie R, że OR =  $d$ .

Z twierdzenia Talesa dla kąta przy wierzchołku O i prostych równoległych $c$  i  $d$  otrzymalibyśmy równość

$\frac{a}{b}=\frac{d}{x}.$  

Aby zbudować odcinek o długości  $z$  wystarczy na jednej półprostej odłożyć odcinki o długościach  $d$  oraz  $x$ .

---

d)

Długość odcinka, który mamy zbudować oznaczmy przez  $w$  i zauważmy, że

$w=\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}$  

Zajmiemy się budową każdego z tych dwóch odcinków - ich długość oznaczmy przez  $p$  oraz  $q$ .

$p=\frac{a^2}{a+b}$  

$q=\frac{b^2}{a+b}$  

Zauważmy, że równości te możemy zapisać w postaci

$\frac{p}{a}=\frac{a}{a+b}$  

$\frac{q}{b}=\frac{b}{a+b}$  

Budujemy najpierw odcinek długości  $p$ . Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O i dwie dowolne, różne (nie przedłużające się do prostej) półproste o początku w tym punkcie. Na jednym ramieniu otrzymanego kąta odkładamy od jego wierzchołka O odcinki $a$  i  $a+b$ , a na drugim odcinek $a$ .

Przez końce odcinków  $a+b$  i  $a$  (leżące na różnych półprostych) prowadzimy prostą  $k$ , a przez koniec odcinka  $a$  prostą  $l$  równoległą do  $k$ . Prosta  $l$  przetnie ramię danego kąta, na którym leży odcinek  $a$ , w takim punkcie S, że OS =  $p$ .

Z twierdzenia Talesa dla kąta przy wierzchołku O i prostych równoległych $l$  i  $k$  otrzymalibyśmy równość

$\frac{a}{a+b}=\frac{p}{a}.$  

Teraz budujemy odcinek długości  $q$ . Obieramy na płaszczyźnie dowolny punkt O i dwie dowolne, różne (nie przedłużające się do prostej) półproste o początku w tym punkcie. Na jednym ramieniu otrzymanego kąta odkładamy od jego wierzchołka O odcinki $b$  i  $a+b$ , a na drugim odcinek $b$ .

Przez końce odcinków  $a+b$  i  $b$  (leżące na różnych półprostych) prowadzimy prostą  $m$ , a przez koniec odcinka  $b$  prostą  $n$  równoległą do  $m$ . Prosta  $n$  przetnie ramię danego kąta, na którym leży odcinek  $a$ , w takim punkcie T, że OT =  $q$ .

Z twierdzenia Talesa dla kąta przy wierzchołku O i prostych równoległych $m$  i  $n$  otrzymalibyśmy równość

$\frac{b}{a+b}=\frac{q}{b}.$  

Aby zbudować odcinek o długości  $w$  wystarczy na jednej półprostej odłożyć odcinki o długościach  $p$  oraz  $q$ .