Wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C na bok AB oznaczmy przez  $H_1$ , a wysokość trójkąta CB'A' opuszczoną z tego samego wierzchołka na bok B'A' - przez  $h_1$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Z twierdzenia Talesa dla kąta ACB i prostych równoległych B'A' i AB otrzymujemy

$\frac{h_1}{H_1}=\frac{B{}^{\prime }A{}^{\prime }}{AB}.$  

Wobec tego

$\frac{h_1}{H_1}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB},$  

czyli

$h_1=\frac{1}{2}{H}_1.$  

Pole trójkąta ABC wynosi:

$\left[ABC\right]=\frac{AB\cdot H_1}{2},$  

a pole trójkąta B'A'C jest równe:

$\left[B{}^{\prime }A{}^{\prime }C\right]=\frac{B{}^{\prime }A{}^{\prime }\cdot h_1}{2}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot \frac{1}{2}{H}_1}{2}=\frac{\frac{1}{4}AB\cdot H_1}{2}=\frac{AB\cdot H_1}{8}.$  

Wynika stąd, że

$\left[B{}^{\prime }A{}^{\prime }C\right]=\frac{1}{4}\left[ABC\right].$  

Postępując analogicznie, otrzymalibyśmy:

$\left[A{}^{\prime }C{}^{\prime }B\right]=\frac{1}{4}\left[ABC\right],$  

$\left[C{}^{\prime }B{}^{\prime }A\right]=\frac{1}{4}\left[ABC\right]$  

Pole trójkąta A'B'C' jest równe różnicy pól:

$\left[A{}^{\prime }B{}^{\prime }C{}^{\prime }\right]=\left[ABC\right]-\left(\left[B{}^{\prime }A{}^{\prime }C\right]+\left[A{}^{\prime }C{}^{\prime }B\right]+\left[C{}^{\prime }B{}^{\prime }A\right]\right)=$  

$=\left[ABC\right]-\left(\frac{1}{4}\left[ABC\right]+\frac{1}{4}\left[ABC\right]+\frac{1}{4}\left[ABC\right]\right)=$  

$=\left[ABC\right]-\frac{3}{4}\left[ABC\right]=$  

$=\frac{1}{4}\left[ABC\right]$  

Odpowiedź: Pole trójkąta A'B'C' stanowi jedną czwartą pola trójkąta ABC.