a)

Aby obliczyć wartość funkcji $f$  dla danej liczby rzeczywistej $x$ , należy $x$  pomnożyć przez 2, a następnie od wyniku odjąć 4. Wymienione działania możemy wykonać dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Stąd otrzymujemy, że

$D_f=\mathbb{R}.$  

Dla dowolnych  $x_1,x_2\in \mathbb{R}$  równoważne są równości

$f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right),$  

$2x_1-4=2x_2-4,$  

$2x_1=2x_2,$  

$x_1=x_2.$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

---

b)

Aby obliczyć wartość funkcji $g$  dla danej liczby rzeczywistej $x$ , należy $x$  pomnożyć przez -3√2, a następnie do wyniku dodać 3. Wymienione działania możemy wykonać dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Stąd otrzymujemy, że

$D_g=\mathbb{R}.$  

Dla dowolnych  $x_1,x_2\in \mathbb{R}$  równoważne są równości

$g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right),$  

$-3\sqrt{2}{x}_1+3=-3\sqrt{2}{x}_2+3,$  

$-3\sqrt{2}{x}_1=-3\sqrt{2}{x}_2,$  

$x_1=x_2.$  

To oznacza, że funkcja  $g$  jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

---

c)

Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby ujemnej, więc dziedziną funkcji $h$  jest zbiór rozwiązań nierówności

$x-1\ge 0,$  

która jest równoważna nierówności

$x\ge 1.$  

Stąd otrzymujemy, że

$D_h=⟨1;+\infty ).$  

Dla dowolnych  $x_1,x_2\in ⟨1;+\infty )$  równoważne są równości

$h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right),$  

$\frac{1}{2}\sqrt{x_1-1}=\frac{1}{2}\sqrt{x_2-1},$  

$\sqrt{x_1-1}=\sqrt{x_2-1},$  

$x_1-1=x_2-1,$  

$x_1=x_2.$  

To oznacza, że funkcja  $h$  jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

---

d)

Dziedziną funkcji $i$  jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że

$x+1\ne 0,$  

czyli

$x\ne -1.$  

Dziedziną funkcji  $i$  jest więc zbiór

$D_i=\mathbb{R}\text{}\left\{-1\right\}.$  

Dla dowolnych  $x_1,x_2\in \mathbb{R}\text{}\left\{-1\right\}$  równoważne są równości

$i\left(x_1\right)=i\left(x_2\right)$  

$\frac{3-x_1}{x_1+1}=\frac{3-x_2}{x_2+1},$  

$\left(3-x_1\right)\left(x_2+1\right)=\left(3-x_2\right)\left(x_1+1\right),$  

$3x_2+3-x_1{x}_2-x_1=3x_1+3-x_1{x}_2-x_2,$  

$3x_2-x_1=3x_1-x_2,$  

$4x_2=4x_1,$  

$x_1=x_2.$  

To oznacza, że funkcja  $i$  jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

---

e)

Aby obliczyć wartość funkcji $j$  dla danej liczby rzeczywistej $x$ , należy $x$  podnieść do potęgi trzeciej, do wyniku dodać  $x$  oraz  1. Wymienione działania możemy wykonać dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Stąd otrzymujemy, że

$D_j=\mathbb{R}.$  

Dla dowolnych  $x_1,x_2\in \mathbb{R}$  równoważne są równości

$j\left(x_1\right)=j\left(x_2\right)$  

$x_1^3+x_1+1=x_2^3+x_2+1,$  

$x_1^3+x_1=x_2^3+x_2,$  

$x_1^3-x_1-x_2^3-x_2=0,$  

$x_1^3-x_2^3+x_1-x_2=0,$  

[korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów]

$\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2\right)+\left(x_1-x_2\right)=0,$  

[wyłączamy wspólny czynnik przed nawias]

$\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2+1\right)=0,$  

[korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy]

$\left(x_1-x_2\right)\left[{\left(x_1+\frac{1}{2}{x}_2\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_2^2+1\right]=0.$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0. Czynnik znajdujący się po prawej stronie jest liczbą różną od 0, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma kwadratów pewnych liczb i liczby 1 jest liczbą nie mniejszą niż 1. Wynika stąd, że

$x_1-x_2=0,$  

czyli

$x_1=x_2.$  

To oznacza, że funkcja  $j$  jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

---

 Uwaga! W książce odpowiedzi do tego zadania podano jako odpowiedzi do zadania 5.