Sporządź wykres funkcji...- Zadanie 396: Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Rozwiązanie

Dane jest równanie:

$m x = \frac{2 x - 2 m - 3}{x - 3}$

Założenie:

$x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

Zapiszmy podane równanie w innej postaci:

$m x \cdot (x - 3) = 2 x - 2 m - 3$

$m x^{2} - 3 m x - 2 x + 2 m + 3 = 0$

$m x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m + 3 = 0$

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1) Podane równanie jest liniowe, wówczas:

$m = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$- 2 x = - 3$

$x = \frac{3}{2}$

dla $m = 0$ podane równanie ma jedno dodatnie rozwiązanie.

2) Podane równanie jest kwadratowe, wówczas:

$m \neq = 0$

Obliczmy wyróżnik tego równania:

$Δ = (- (3 m + 2))^{2} - 4 \cdot m \cdot (2 m + 3) = 9 m^{2} + 12 m + 4 - 8 m^{2} - 12 m = m^{2} + 4$

Zauważmy, że:

$m^{2} + 4 > 0, m \in R$

więc:

$Δ > 0$

Obliczmy dla jakiego $m$ rozwiązaniem podanego równania jest liczba $x = 3 :$

(ponieważ liczba $3$ nie należy do dziedziny tego równania to rozwiązanie musimy odrzucić)

$m \cdot 3^{2} - (3 m + 2) \cdot 3 + 2 m + 3 = 0$

$9 m - 9 m - 6 + 2 m + 3 = 0$

$2 m - 3 = 0$

$2 m = 3$

$m = \frac{3}{2}$

Zatem podane równanie ma dwa pierwiastki dla:

$m \in R - {\frac{3}{2}}$

oraz jeden pierwiastek dla $m = \frac{3}{2}$

2a) Obliczmy dla jakich wartości parametru m podane równanie ma dwa dodatnie pierwiastki, czyli spełnione są warunki:

$1 . \frac{2 m + 3}{m} > 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(2 m + 3) m > 0$

$m \in (- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, + \infty)$

$2 . - \frac{- ( 3 m + 2 )}{m} > 0$

$\frac{3 m + 2}{m} > 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(3 m + 2) \cdot m > 0$

$m \in (- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, + \infty)$

$3 . m \neq = \frac{3}{2}$

Zatem podane równanie ma dwa dodatnie pierwiastki dla:

$m \in (- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

2b) Obliczmy dla jakich wartości parametru m podane równanie ma dwa niedodatnie pierwiastki, czyli spełnione są warunki:

(czyli nie ma dodatnich pierwiastków)

$1 . \frac{2 m + 3}{m} \geq 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(2 m + 3) m \geq 0$

$m \in (- \infty, - \frac{3}{2} ⟩ \cup (0, + \infty)$

$2 . - (- \frac{3 m + 2}{m}) < 0$

$\frac{3 m + 2}{m} < 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(3 m + 2) \cdot m < 0$

$m \in (- \frac{2}{3}, 0)$

Zatem podane równanie nie ma dwóch niedodatnich pierwiastków dla żadnej wartości $m .$

2c) Obliczmy dla jakich wartości parametru m podane równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków lub dwa nieujemne pierwiastki lub jeden pierwiastek równy $3$ czyli spełnione są warunki:

(czy ma jeden dodatni pierwiastek)

$1 . \frac{2 m + 3}{m} \leq 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(2 m + 3) m \leq 0$

$m \in ⟨ - \frac{3}{2}, 0)$

$2 . m = \frac{3}{2}$

Zatem podane równanie ma jeden dodatni pierwiastek dla:

$m \in ⟨ - \frac{3}{2}, 0) \cup {\frac{3}{2}}$

Biorąc pod uwagę rozwiązania przypadków 1) i 2) otrzymujemy wzór funkcji g:

$g (m) = {1 dla m \in ⟨ - \frac{3}{2}, 0 ⟩ \cup {\frac{3}{2}} 2 dla m \in (- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$