Treść:

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

Wtedy:

$\text{A.}\left|OK\right|=6$  

$\text{B.}\left|OK\right|=8$  

$\text{C.}\left|OK\right|=10$  

$\text{D.}\left|OK\right|=12$  

---

Rozwiązanie:

Mamy dane:

$\left|AO\right|=5$  

$\left|BP\right|=3$  

$\left|OP\right|=16$  

---

Prosta AB jest styczna do obu okręgów, więc AO || BP. Z równoległości tych prostych wynika, że trójkąty AOK i PKB są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt. Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{\left|AO\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|PK\right|}$  

$\frac{\left|AO\right|}{\left|OK\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|OP\right|-\left|OK\right|}$  

$\frac{5}{\left|OK\right|}=\frac{3}{16-\left|OK\right|}$  

$5\left(16-\left|OK\right|\right)=3\left|OK\right|$  

$80-5\left|OK\right|=3\left|OK\right|$  

$80=8\left|OK\right|\mid :8$  

$\left|OK\right|=10$  

---

Prawidłowa odpowiedź to C.