Dane: 

(a_n) - ciąg arytmetyczny 

a₅ = 2

a₈ = 14

Obliczamy ile wynosi różnica tego ciągu. 

$a_8=a_5+3r$  

$14=2+3r\mid -2$  

$12=3r\mid :3$  

$r=4$  

Różnica tego ciągu wynosi 4. 

Obliczamy teraz ile wynosi pierwszy wyraz tego ciągu. 

$a_5=a_1+4r$  

$2=a_1+4\cdot 4$  

$2=a_1+16\mid -16$  

$a_1=-14$  

Wzór ogólny tego ciągu to: 

$a_n=-14+\left(n-1\right)\cdot 4$  

$a_n=-14+4n-4$  

${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=4\mathbf{n}-18$  

 

Wzór opisujący sumę n początkowych wyrazów tego ciągu to: 

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot r}{2}\cdot n$  

Zatem:

$S_n=\frac{2\cdot \left(-14\right)+\left(n-1\right)\cdot 4}{2}\cdot n=\frac{-28+4n-4}{2}\cdot n=\frac{-32+4n}{2}\cdot n=\left(-16+2n\right)\cdot n=2n^2-16n$   

Zauważmy teraz, że sumę n początkowych wyrazów można opisać za pomocą funkcji: 

$f\left(n\right)=2n^2-16n,\text{dla}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zauważmy, że ramiona tej funkcji są skierowane w górę (a = 2 > 0). 

Oznacza to, że funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. Obliczamy ile wynosi pierwsza współrzędna wierzchołka tej funkcji. 

$n_w=\frac{-\left(-16\right)}{2\cdot 2}=\frac{16}{4}=4$  

Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla n =4. 

Możemy teraz wywnioskować, że dla n = 4 suma początkowych wyrazów tego ciągu jest najmniejsza.