$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x^2+3x-10}$  

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji.

$x^2+3x-10=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49$   

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$x_1=\frac{-3-7}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5$  

$x_2=\frac{-3+7}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$  

Dla x = -5 i x = 2 wyrażenie znajdujące się w mianowniku ułamka przyjmuje wartość 0. 

Dziedzina tej funkcji wynosi więc (nie dzielimy przez 0, mianownik ułamka nie może być równy 0; "wyrzucamy" te wartości x, dla których wyrażenie znajdujące się w mianowniku jest równe 0.): 

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-5,2\right\}$  

Wyznaczamy miejsca zerowe tej funkcji. 

$x^2-2x=0$

$x\left(x-2\right)=0$

$x=0\vee x-2=0$   

$x=0\vee x=2\notin D_f$  

Miejsce zerowe funkcji to:  $x_0=0$   

 

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{x^2-x-2}{\sqrt{x^2-16}}$  

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f. 

$x^2-16>0$  

$\left(x+4\right)\left(x-4\right)>0$  

$x+4=0\vee x-4=0$   

$x=-4\vee x=4$  

Wyznaczamy te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 

$D_f=\left(-\infty ;-4\right)\cup \left(4;+\infty \right)$  

Wyznaczamy miejsca zerowe. 

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$   

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2\notin D_f$  

$x_2=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1\notin D_f$  

Brak miejsc zerowych. 

 

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{x^2-6x+5}{\sqrt{x^2+x-12}}$  

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji. 

$x^2+x-12>0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$   

$x_1=\frac{-1-7}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-1+7}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

Wyznaczamy te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. 

$D_f=\left(-\infty ;-4\right)\cup \left(3;+\infty \right)$  

Wyznaczamy miejsca zerowe. 

$x^2-6x+5=0$  

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$  

$x_1=\frac{-\left(-6\right)-4}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1\notin D_f$  

$x_2=\frac{-\left(-6\right)+4}{2\cdot 1}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Miejsce zerowe:  $x_0=5$