Pochodna funkcji w punkcie:

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$   

W naszym zadaniu mamy:

$x_0=1$  

Czyli:

$f\left(x_0+h\right)=f\left(1+h\right)$      

 

a)

$f\left(x\right)=\left|x-1\right|$  

$x_0=1$  

 

$f\left(1\right)=\left|1-1\right|=0$  

$f\left(1+h\right)=\left|1+h-1\right|=\left|h\right|$  

 

Musimy sprawdzić, czy granice prawostronne są równe lewostronnym.

 

$f{}^{\prime }{\left(1\right)}_{x\to 1^{+}}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|-0}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=1$  

(licznik jest liczbą dodatnią, mianownik jest liczbą dodatnią, więc wynik jest również liczbą dodatnią)