Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

 

$\left|OS\right|=5$  

$\alpha ={120}^{\circ }$  

$\left|AB\right|=a$  

$\left|ES\right|=h$  

$\left|CS\right|=l$    

 

Zauważmy, że trójkąt DFB jest równoramienny:

  

$\left|BD\right|=a\sqrt{2}$  

$\left|OB\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

 

$\frac{\left|OB\right|}{\left|BF\right|}=\sin {60}^{\circ }$  

 

$\left|BF\right|=\frac{\left|OB\right|}{\sin {60}^{\circ }}$  

 

$\left|BF\right|=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$  

 

$\left|BF\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

 

$\left|BF\right|=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$  

 

$\left|BF\right|=\frac{a\sqrt{6}}{3}$   

  

 

Obliczmy pole trójkąta BCS na dwa sposoby:

$P=\frac{1}{2}ah$  

 

$P=\frac{1}{2}l\cdot \left|BF\right|=\frac{1}{2}\cdot l\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}$  

 

 

Zapiszmy równanie:

$\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot l\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\mid \cdot \frac{2}{a}$  

 

$h=\frac{l\sqrt{6}}{3}$  

 

 

Popatrzmy na trójkąt SOE - zastosujmy twierdzenie Pitagorasa:

 

$5^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=h^2$  

 

$25+\frac{a^2}{4}={\left(\frac{l\sqrt{6}}{3}\right)}^2$  

 

$25+\frac{a^2}{4}=\frac{6l^2}{9}$

 

$25+\frac{a^2}{4}=\frac{2l^2}{3}\mid \cdot 3$  

 

$75+\frac{3a^2}{4}=2l^2:2$  

 

$\frac{75}{2}+\frac{3a^2}{8}=l^2$   

 

 

Popatrzmy na trójkąt SOC:

  

$5^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=l^2$  

 

$25+\frac{2a^2}{4}=l^2$  

 

Możemy więc zapisać równanie:

$\frac{75}{2}+\frac{3a^2}{8}=25+\frac{2a^2}{4}\mid \cdot 8$  

 

$300+3a^2=200+4a^2$  

$100=a^2$  

  $\underline{a=10}$  

 

 

Obliczmy pole podstawy:

$P_P=a^2=100$    

 

 

Objętość:         

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

 

$V=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 5=\underline{\frac{500}{3}}$